Задание F810D5

Обозначим общее количество контейнеров за $T$. Контейнеров с сахаром $\frac{T}{4}$. Пусть $x$ — количество 20-тонных контейнеров, $y$ — количество 60-тонных контейнеров. Тогда $x+y=T$ и общая масса $20x+60y = 20(x+3y)$.

Пусть среди контейнеров с сахаром $a$ штук по 20 тонн и $b$ штук по 60 тонн. Тогда $a+b = \frac{T}{4}$, а масса сахара $20a+60b$. Доля массы сахара равна $\frac{20a+60b}{20(x+3y)} = \frac{a+3b}{x+3y}$.

а) Может ли доля быть $20\% = \frac{1}{5}$? Нужно $\frac{a+3b}{x+3y} = \frac{1}{5}$. Пример: возьмём $x=20$, $y=20$, тогда $T=40$, $\frac{T}{4}=10$. Имеем $x+3y=80$. Уравнение: $a+3b=16$. При этом $a+b=10$. Решая систему, получаем $a=7$, $b=3$. Это целые неотрицательные числа, значит, возможно. Ответ: да.

б) Может ли доля быть $60\% = \frac{3}{5}$? Максимальная доля достигается, если весь сахар находится в 60-тонных контейнерах ($a=0$, $b=\frac{T}{4}$). Тогда доля равна $\frac{3b}{x+3y}$. Поскольку $b = \frac{T}{4}$, $x+3y \geq 3y \geq 3b$, то доля $\leq \frac{3b}{3b} = 1$. Но учтём, что $x = T-y = 4b - y$, поэтому $x+3y = 4b + 2y \geq 4b$. Тогда доля $\leq \frac{3b}{4b} = \frac{3}{4} = 75\%$. При этом для достижения ровно $60\%$ нужно $\frac{3b}{x+3y} = \frac{3}{5} \Rightarrow x+3y = 5b$. Подставим $x = 4b - y$: $4b - y + 3y = 4b+2y = 5b \Rightarrow 2y = b \Rightarrow y = \frac{b}{2}$. Тогда $x = 4b - \frac{b}{2} = \frac{7b}{2}$. Но $x$ и $y$ должны быть целыми при целом $b$ (так как $b = \frac{T}{4}$ — целое). При чётном $b$ это возможно, но проверим условие $a=0$, $b=\frac{T}{4}$: если $y = \frac{b}{2}$, то общее число контейнеров $T = x+y = \frac{7b}{2} + \frac{b}{2} = 4b$, что верно. Однако тогда количество 60-тонных контейнеров всего $y = \frac{b}{2}$, но у нас все $b$ контейнеров с сахаром — 60-тонные, значит $b \leq y = \frac{b}{2} \Rightarrow b \leq 0$. Противоречие. Значит, при $a=0$ доля строго меньше $60\%$. Если же $a > 0$, то доля будет ещё меньше. Следовательно, $60\%$ недостижимы. Ответ: нет.

в) Минимальная доля достигается, когда весь сахар находится в 20-тонных контейнерах ($a = \frac{T}{4}$, $b=0$), а все остальные контейнеры — 60-тонные. Тогда $y = T - x$, причём $x \geq a = \frac{T}{4}$. Для минимизации доли возьмём $x = \frac{T}{4}$ (все 20-тонные — это сахар), тогда $y = \frac{3T}{4}$. Общая масса: $20 \cdot \frac{T}{4} + 60 \cdot \frac{3T}{4} = 5T + 45T = 50T$. Масса сахара: $20 \cdot \frac{T}{4} = 5T$. Доля: $\frac{5T}{50T} = \frac{1}{10} = 10\%$. Меньше быть не может, так как если часть сахара в 60-тонных, доля увеличится, а если увеличить число 20-тонных без сахара, то общая масса уменьшится, но масса сахара останется прежней, что также увеличит долю. Ответ: $10\%$.