Шаг 1
Точки $B$, $C$, $B_1$, $C_1$ лежат на одной окружности. По свойству вписанных углов:
$\angle AB_1C_1 = \angle ABC$ (опираются на дугу $CC_1$),
$\angle AC_1B_1 = \angle ACB$ (опираются на дугу $BB_1$).
$\angle AB_1C_1 = \angle ABC$ (опираются на дугу $CC_1$),
$\angle AC_1B_1 = \angle ACB$ (опираются на дугу $BB_1$).
Результат:
У треугольников $ABC$ и $AB_1C_1$ два угла соответственно равны.
Шаг 2
Угол $A$ общий. Следовательно, треугольники подобны по двум углам.
б) Вычисление $B_1C_1$ и радиуса окружности
Результат:
$\triangle ABC \sim \triangle AB_1C_1$.
б) Вычисление $B_1C_1$ и радиуса окружности
Шаг 1
Из условия на площади. $S_{BCB_1C_1} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle AB_1C_1}$.
Условие: $S_{\triangle AB_1C_1} = \frac{1}{3} S_{BCB_1C_1}$.
Подставляем: $S_{\triangle AB_1C_1} = \frac{1}{3} \left( S_{\triangle ABC} - S_{\triangle AB_1C_1} \right)$.
Упрощаем: $3S_{\triangle AB_1C_1} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle AB_1C_1}$ $\Rightarrow$ $4S_{\triangle AB_1C_1} = S_{\triangle ABC}$.
Условие: $S_{\triangle AB_1C_1} = \frac{1}{3} S_{BCB_1C_1}$.
Подставляем: $S_{\triangle AB_1C_1} = \frac{1}{3} \left( S_{\triangle ABC} - S_{\triangle AB_1C_1} \right)$.
Упрощаем: $3S_{\triangle AB_1C_1} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle AB_1C_1}$ $\Rightarrow$ $4S_{\triangle AB_1C_1} = S_{\triangle ABC}$.
Результат:
$S_{\triangle AB_1C_1} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC}$.
Шаг 2
Коэффициент подобия $k = \frac{B_1C_1}{BC}$. Отношение площадей $k^2 = \frac{1}{4}$, откуда $k = \frac{1}{2}$ (положительный).
Результат:
$B_1C_1 = k \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{7} = 5\sqrt{7}$.
Шаг 3
Из подобия $\frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC} = \frac{1}{2}$, значит $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Тогда $BB_1$ и $CC_1$ — медианы.
Шаг 4
Для вписанной трапеции $BCB_1C_1$ ($B_1C_1 \parallel BC$) необходимо равенство боковых сторон: $BB_1 = CC_1$. Приравнивая квадраты медиан, получаем $AB = AC$. Следовательно, треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB = AC$.
Шаг 5
Пусть $AB = AC = x$. По теореме косинусов для $\triangle ABC$:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 120^\circ = x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2$.
$(10\sqrt{7})^2 = 700 = 3x^2$ $\Rightarrow$ $x^2 = \frac{700}{3}$, $x = 10\sqrt{\frac{7}{3}}$.
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 120^\circ = x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2$.
$(10\sqrt{7})^2 = 700 = 3x^2$ $\Rightarrow$ $x^2 = \frac{700}{3}$, $x = 10\sqrt{\frac{7}{3}}$.
Шаг 6
Найдём $BB_1$ из $\triangle ABB_1$ ($AB = 10\sqrt{\frac{7}{3}}$, $AB_1 = \frac{x}{2} = 5\sqrt{\frac{7}{3}}$, $\angle A = 120^\circ$):
$BB_1^2 = AB^2 + AB_1^2 - 2 \cdot AB \cdot AB_1 \cdot \cos 120^\circ = \frac{700}{3} + \frac{175}{3} + \frac{350}{3} = \frac{1225}{3}$,
$BB_1 = \frac{35}{\sqrt{3}}$.
$BB_1^2 = AB^2 + AB_1^2 - 2 \cdot AB \cdot AB_1 \cdot \cos 120^\circ = \frac{700}{3} + \frac{175}{3} + \frac{350}{3} = \frac{1225}{3}$,
$BB_1 = \frac{35}{\sqrt{3}}$.
Шаг 7
В $\triangle BCB_1$ известны $BB_1 = \frac{35}{\sqrt{3}}$, $BC = 10\sqrt{7}$, $\angle BCB_1 = \angle ACB = 30^\circ$ (так как равнобедренный треугольник с углом $120^\circ$ при вершине даёт углы по $30^\circ$ при основании). По теореме синусов:
$\frac{BB_1}{\sin 30^\circ} = 2R$, где $R$ — искомый радиус окружности.
$\frac{35/\sqrt{3}}{1/2} = \frac{70}{\sqrt{3}} = 2R$ $\Rightarrow$ $R = \frac{35}{\sqrt{3}}$.
$\frac{BB_1}{\sin 30^\circ} = 2R$, где $R$ — искомый радиус окружности.
$\frac{35/\sqrt{3}}{1/2} = \frac{70}{\sqrt{3}} = 2R$ $\Rightarrow$ $R = \frac{35}{\sqrt{3}}$.
Окончательный ответ: