Шаг 1
Пусть исходное трёхзначное число равно $100a + 10b + c$, где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, $c$ — цифра единиц. После операции получаем число: $(100a + 10b + c) + 10b + 3 = 100a + 20b + c + 3$.
Шаг 2
а) Могло ли получиться 224? Уравнение: $100a + 20b + c + 3 = 224 \Rightarrow 100a + 20b + c = 221$. При $a = 2$: $20b + c = 21$. Подходит $b = 1$, $c = 1$. Исходное число 211 даёт результат 224. Ответ: да.
Шаг 3
б) Могло ли получиться 314? Уравнение: $100a + 20b + c + 3 = 314 \Rightarrow 100a + 20b + c = 311$. При $a = 3$: $20b + c = 11$. Нет целых неотрицательных цифр $b$, $c$, удовлетворяющих этому (так как $20b \geq 0$, $c \leq 9$, то $20b \leq 11 \Rightarrow b = 0$, тогда $c = 11$, что невозможно). Ответ: нет.
Шаг 4
в) Найдём наибольшее отношение $R$ получившегося числа к исходному: $R = \frac{100a + 20b + c + 3}{100a + 10b + c}$. Чтобы максимизировать $R$, нужно минимизировать знаменатель и максимизировать числитель при данных цифрах. Это достигается при наименьшем $a$ и наибольшем $b$. Берём $a = 1$, $b = 9$, $c = 0$ (наименьшая цифра для минимизации знаменателя). Тогда исходное число: $190$, результат: $100 \cdot 1 + 20 \cdot 9 + 0 + 3 = 283$. Отношение: $R = \frac{283}{190}$.
Окончательный ответ:
$\frac{283}{190}$