Шаг 1
Упростим уравнение.
Исходное: $2 + 2\cos(\pi - 2x) + \sqrt{8} \sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12} \sin x$.
Используем $\cos(\pi - 2x) = -\cos 2x$ и упростим корни: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Получаем: $2 - 2\cos 2x + 2\sqrt{2} \sin x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3} \sin x$.
Исходное: $2 + 2\cos(\pi - 2x) + \sqrt{8} \sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12} \sin x$.
Используем $\cos(\pi - 2x) = -\cos 2x$ и упростим корни: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Получаем: $2 - 2\cos 2x + 2\sqrt{2} \sin x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3} \sin x$.
Шаг 2
Перенесём всё в одну сторону:
$(2 - \sqrt{6}) - 2\cos 2x + (2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) \sin x = 0$.
$(2 - \sqrt{6}) - 2\cos 2x + (2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) \sin x = 0$.
Шаг 3
Заменим $\cos 2x = 1 - 2\sin^{2} x$, тогда $-\cos 2x = -1 + 2\sin^{2} x$. Подставим:
$(2 - \sqrt{6}) + 2\left(-1 + 2\sin^{2} x + (\sqrt{2} - \sqrt{3}) \sin x\right) = 0$.
Упрощаем: $(2 - \sqrt{6}) - 2 + 4\sin^{2} x + 2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) \sin x = 0$,
что даёт $4\sin^{2} x + 2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) \sin x - \sqrt{6} = 0$.
$(2 - \sqrt{6}) + 2\left(-1 + 2\sin^{2} x + (\sqrt{2} - \sqrt{3}) \sin x\right) = 0$.
Упрощаем: $(2 - \sqrt{6}) - 2 + 4\sin^{2} x + 2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) \sin x = 0$,
что даёт $4\sin^{2} x + 2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) \sin x - \sqrt{6} = 0$.
Шаг 4
Замена $t = \sin x$, $|t| \le 1$:
$4t^{2} + 2(\sqrt{2} - \sqrt{3})t - \sqrt{6} = 0$.
Дискриминант: $D = \left(2(\sqrt{2} - \sqrt{3})\right)^{2} + 16\sqrt{6} = 4(5 - 2\sqrt{6}) + 16\sqrt{6} = 20 + 8\sqrt{6}$.
Заметим: $20 + 8\sqrt{6} = 4(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2}$, значит $\sqrt{D} = 2(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.
$4t^{2} + 2(\sqrt{2} - \sqrt{3})t - \sqrt{6} = 0$.
Дискриминант: $D = \left(2(\sqrt{2} - \sqrt{3})\right)^{2} + 16\sqrt{6} = 4(5 - 2\sqrt{6}) + 16\sqrt{6} = 20 + 8\sqrt{6}$.
Заметим: $20 + 8\sqrt{6} = 4(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2}$, значит $\sqrt{D} = 2(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.
Шаг 5
Корни квадратного уравнения:
$t_{1,2} = \frac{-2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) \pm 2(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{8}$.
Вычисляем:
$t_1 = \frac{2(-\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{2})}{8} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,
$t_2 = \frac{2(-\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{2})}{8} = \frac{-4\sqrt{2}}{8} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Итак, $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$t_{1,2} = \frac{-2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) \pm 2(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{8}$.
Вычисляем:
$t_1 = \frac{2(-\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{2})}{8} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,
$t_2 = \frac{2(-\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{2})}{8} = \frac{-4\sqrt{2}}{8} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Итак, $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Шаг 6
Решаем тригонометрические уравнения.
1) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = (-1)^{k} \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
1) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = (-1)^{k} \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Шаг 7
Найдём корни на отрезке $\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]$.
Для $x = (-1)^{k} \frac{\pi}{3} + \pi k$:
При чётном $k=2m$: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m$. Подходит $m=2$: $x = \frac{13\pi}{3}$.
При нечётном $k=2m+1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$. Ни при $m=1$, ни при $m=2$ $x$ не попадает в отрезок.
Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$: подходит $n=2$: $x = \frac{15\pi}{4}$.
Для $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$: подходит $n=1$: $x = \frac{13\pi}{4}$.
Для $x = (-1)^{k} \frac{\pi}{3} + \pi k$:
При чётном $k=2m$: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m$. Подходит $m=2$: $x = \frac{13\pi}{3}$.
При нечётном $k=2m+1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$. Ни при $m=1$, ни при $m=2$ $x$ не попадает в отрезок.
Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$: подходит $n=2$: $x = \frac{15\pi}{4}$.
Для $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$: подходит $n=1$: $x = \frac{13\pi}{4}$.
Окончательный ответ: