Шаг 1
Запишем суммы фотографий за $k$ дней.
Маша: $S_M = km + \frac{k(k-1)}{2}$
Наташа: $S_N = kn + \frac{k(k-1)}{2}$
Маша: $S_M = km + \frac{k(k-1)}{2}$
Наташа: $S_N = kn + \frac{k(k-1)}{2}$
Шаг 2
По условию $S_N - S_M = 1001$. Подставляя суммы, получаем:
$k(n-m) = 1001$.
$k(n-m) = 1001$.
Шаг 3
а) При $k=7$: $n-m = 1001/7 = 143$ (целое). Значит, 7 дней возможны.
Шаг 4
б) При $k=8$: $n-m = 1001/8$ не является целым числом. Значит, 8 дней невозможны.
Шаг 5
в) По условию в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий: $m + (k-1) < 40$, откуда $m \leq 40 - k$. Также $k > 1$ и $k$ — делитель 1001 ($1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$).
Шаг 6
Рассмотрим возможные $k$: 7, 11, 13 (остальные делители больше 40). Для максимальной суммы Наташи нужно взять наибольшее $k$ и максимальное $m$.
Шаг 7
При $k=13$: $m = 40 - 13 = 27$, тогда $n = m + 1001/13 = 27 + 77 = 104$. Сумма Наташи: $S_N = 13 \cdot 104 + \frac{13 \cdot 12}{2} = 1352 + 78 = 1430$. Проверяем последний день Маши: $27 + 12 = 39 < 40$ — условие выполнено.
Окончательный ответ:
а) Да, б) Нет, в) 1430