Шаг 1
Упростим уравнение.
Исходное: $2 \sin^{2} \left( \frac{\pi}{2} - x \right) + \sin 2x = 0$.
По формуле приведения $\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \cos x$, поэтому $\sin^{2} \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \cos^{2} x$.
Получаем: $2 \cos^{2} x + \sin 2x = 0$.
Исходное: $2 \sin^{2} \left( \frac{\pi}{2} - x \right) + \sin 2x = 0$.
По формуле приведения $\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \cos x$, поэтому $\sin^{2} \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \cos^{2} x$.
Получаем: $2 \cos^{2} x + \sin 2x = 0$.
Шаг 2
Используем формулу $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
Уравнение: $2 \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x = 0$.
Выносим $2 \cos x$: $2 \cos x (\cos x + \sin x) = 0$.
Уравнение: $2 \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x = 0$.
Выносим $2 \cos x$: $2 \cos x (\cos x + \sin x) = 0$.
Шаг 3
Решаем уравнение.
1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x + \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -\cos x$.
Делим на $\cos x \neq 0$ (случай $\cos x = 0$ уже учтён): $\tan x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$.
1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x + \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -\cos x$.
Делим на $\cos x \neq 0$ (случай $\cos x = 0$ уже учтён): $\tan x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 4
Отбор корней на отрезке $\left[ 3\pi; \frac{9\pi}{2} \right]$.
Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:
$3\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi n \leq \frac{9\pi}{2} \Rightarrow 6\pi \leq \pi + 2\pi n \leq 9\pi \Rightarrow 5\pi \leq 2\pi n \leq 8\pi \Rightarrow 2.5 \leq n \leq 4$.
Целые $n$: $n = 3, 4$.
Корни: $x = \frac{7\pi}{2}$ (при $n=3$) и $x = \frac{9\pi}{2}$ (при $n=4$).
Для $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$:
$3\pi \leq -\frac{\pi}{4} + \pi k \leq \frac{9\pi}{2} \Rightarrow 12\pi \leq -\pi + 4\pi k \leq 18\pi \Rightarrow 13\pi \leq 4\pi k \leq 19\pi \Rightarrow 3.25 \leq k \leq 4.75$.
Целое $k$: $k = 4$.
Корень: $x = \frac{15\pi}{4}$.
Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:
$3\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi n \leq \frac{9\pi}{2} \Rightarrow 6\pi \leq \pi + 2\pi n \leq 9\pi \Rightarrow 5\pi \leq 2\pi n \leq 8\pi \Rightarrow 2.5 \leq n \leq 4$.
Целые $n$: $n = 3, 4$.
Корни: $x = \frac{7\pi}{2}$ (при $n=3$) и $x = \frac{9\pi}{2}$ (при $n=4$).
Для $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$:
$3\pi \leq -\frac{\pi}{4} + \pi k \leq \frac{9\pi}{2} \Rightarrow 12\pi \leq -\pi + 4\pi k \leq 18\pi \Rightarrow 13\pi \leq 4\pi k \leq 19\pi \Rightarrow 3.25 \leq k \leq 4.75$.
Целое $k$: $k = 4$.
Корень: $x = \frac{15\pi}{4}$.
Окончательный ответ: