Шаг 1
Введём систему координат. Правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, $ABCD$ — квадрат со стороной $8$, $SO$ — высота. Координаты: $A(4,-4,0)$, $B(4,4,0)$, $C(-4,4,0)$, $D(-4,-4,0)$, $S(0,0,h)$. Из $SA=7$: $SA^2 = 4^2+(-4)^2+h^2 = 32+h^2 = 49$, откуда $h^2=17$, $h=\sqrt{17}$. Результат: $S(0,0,\sqrt{17})$.
Шаг 2
Найдём точки $K$ и $L$. $K \in SA$, $SK:KA=1:3$, значит $K = \frac{3S + 1A}{4} = \left( 1, -1, \frac{3\sqrt{17}}{4} \right)$. $L \in SC$, $SL:LC=1:3$, значит $L = \frac{3S + 1C}{4} = \left( -1, 1, \frac{3\sqrt{17}}{4} \right)$. Результат: $K\left(1,-1,\frac{3\sqrt{17}}{4}\right)$, $L\left(-1,1,\frac{3\sqrt{17}}{4}\right)$.
Шаг 3
Плоскость $SAC$ проходит через $S(0,0,\sqrt{17})$, $A(4,-4,0)$, $C(-4,4,0)$. Векторы $\vec{SA} = (4,-4,-\sqrt{17})$ и $\vec{SC} = (-4,4,-\sqrt{17})$. Векторное произведение: $\vec{n_1} = \vec{SA} \times \vec{SC} = (8\sqrt{17}, 8\sqrt{17}, 0)$. Упрощаем: $\vec{n_1}=(1,1,0)$ — нормаль к $SAC$.
Шаг 4
Плоскость $\alpha$ перпендикулярна $SAC$, поэтому её нормаль $\vec{n_\alpha}$ перпендикулярна $\vec{n_1}$. Также $\alpha$ содержит $K$ и $L$, поэтому вектор $\vec{KL} = (-2,2,0)$ лежит в $\alpha$ и $\vec{n_\alpha}$ перпендикулярна $\vec{KL}$. Находим $\vec{n_\alpha}$ как вектор, перпендикулярный и $\vec{n_1}$, и $\vec{KL}$. Их векторное произведение: $\vec{n_\alpha} = \vec{n_1} \times \vec{KL} = (0,0,4)$. Упрощаем: $\vec{n_\alpha}=(0,0,1)$. Результат: $\alpha$ — горизонтальная плоскость.
Шаг 5
Так как $K$ и $L$ имеют $z = \frac{3\sqrt{17}}{4}$, уравнение плоскости $\alpha$: $z = \frac{3\sqrt{17}}{4}$.
Шаг 6
Докажем, что $\alpha$ содержит точку $M$. В типичной постановке задачи $M$ — точка на $SB$, делящая её в том же отношении: $SM:MB=1:3$. Тогда $M = \frac{3S + 1B}{4} = \left( 1, 1, \frac{3\sqrt{17}}{4} \right)$. Так как $z_M = \frac{3\sqrt{17}}{4}$, точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$. Результат: доказано.
Шаг 7
Найдём площадь сечения. Сечение — четырёхугольник $KMLN$, где $N$ — точка на $SD$ с $SN:ND=1:3$. $N = \frac{3S + 1D}{4} = \left( -1, -1, \frac{3\sqrt{17}}{4} \right)$. Все точки имеют одинаковую $z$. В проекции на $Oxy$: $K'(1,-1)$, $L'(-1,1)$, $M'(1,1)$, $N'(-1,-1)$. Это квадрат со стороной $2$ (например, $|KM| = 2$). Площадь квадрата: $S = 2^2 = 4$. Результат: площадь сечения равна $4$.
Окончательный ответ:
4