Шаг 1
Уравнение $x^2 + a^2 - x - 7a = |7x - a|$. Перенесём всё: $x^2 + a^2 - x - 7a - |7x - a| = 0$. Рассмотрим два случая раскрытия модуля $|7x - a|$ при $x \ge \frac{a}{7}$ и $x < \frac{a}{7}$.
Случай 1 ($x \ge \frac{a}{7}$): $x^2 - 8x + a^2 - 6a = 0$, дискриминант $D_1 = -4a^2 + 24a + 64$.
Случай 2 ($x < \frac{a}{7}$): $x^2 + 6x + a^2 - 8a = 0$, дискриминант $D_2 = -4a^2 + 32a + 36$.
Результат:
Случай 1 ($x \ge \frac{a}{7}$): $x^2 - 8x + a^2 - 6a = 0$, дискриминант $D_1 = -4a^2 + 24a + 64$.
Случай 2 ($x < \frac{a}{7}$): $x^2 + 6x + a^2 - 8a = 0$, дискриминант $D_2 = -4a^2 + 32a + 36$.
Шаг 2
Найдём области неотрицательности дискриминантов.
$D_1 \ge 0 \Rightarrow -4a^2 + 24a + 64 \ge 0 \Rightarrow a^2 - 6a - 16 \le 0 \Rightarrow (a-8)(a+2) \le 0 \Rightarrow a \in \left[-2, 8\right]$.
$D_2 \ge 0 \Rightarrow -4a^2 + 32a + 36 \ge 0 \Rightarrow a^2 - 8a - 9 \le 0 \Rightarrow (a-9)(a+1) \le 0 \Rightarrow a \in \left[-1, 9\right]$.
$D_1 \ge 0 \Rightarrow -4a^2 + 24a + 64 \ge 0 \Rightarrow a^2 - 6a - 16 \le 0 \Rightarrow (a-8)(a+2) \le 0 \Rightarrow a \in \left[-2, 8\right]$.
$D_2 \ge 0 \Rightarrow -4a^2 + 32a + 36 \ge 0 \Rightarrow a^2 - 8a - 9 \le 0 \Rightarrow (a-9)(a+1) \le 0 \Rightarrow a \in \left[-1, 9\right]$.
Результат:
$D_1 \ge 0$ при $a \in \left[-2, 8\right]$, $D_2 \ge 0$ при $a \in \left[-1, 9\right]$.
Шаг 3
Разберём интервалы по числу корней.
1) $a \in \left[-2, -1\right)$: $D_1 \ge 0$, $D_2 < 0$. Корни только из первого случая: $x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16 - (a^2 - 6a)}$. При $a > -2$ $D_1 > 0$, оба корня больше $\frac{a}{7}$ (так как $\frac{a}{7}$ отрицательно, а корни около 4), значит два корня. При $a = -2$ $D_1 = 0$, один корень. Итого: $a \in \left(-2, -1\right)$ даёт два корня.
2) $a \in \left(8, 9\right]$: $D_1 < 0$, $D_2 \ge 0$. Корни только из второго случая: $x_{3,4} = -3 \pm \sqrt{9 - (a^2 - 8a)}$. При $a < 9$ $D_2 > 0$, оба корня меньше $\frac{a}{7}$ (так как $\frac{a}{7} > 1$, а корни отрицательны или малы), значит два корня. При $a = 9$ $D_2 = 0$, один корень. Итого: $a \in \left(8, 9\right)$ даёт два корня.
3) $a \in \left[-1, 8\right]$: оба дискриминанта неотрицательны. Нужно, чтобы суммарно было ровно два различных корня. Проверим особые точки.
При $a = -1$: первый случай даёт корни $1$ и $7$, второй — один корень $x = -3$ (кратности 2). Итого три различных корня.
При $a = 8$: первый случай даёт один корень $x = 4$ (кратности 2), второй — корни $0$ и $-6$. Итого три различных корня.
При $a = 0$ и $a = 7$: корень $x = \frac{a}{7}$ лежит на границе и учитывается в первом случае, а второй случай даёт ещё один корень (при $a=0$: $x=-6$; при $a=7$: $x=-7$), плюс есть второй корень из первого случая ($x=8$ при $a=0$, $x=7$ при $a=7$). Итого три различных корня.
1) $a \in \left[-2, -1\right)$: $D_1 \ge 0$, $D_2 < 0$. Корни только из первого случая: $x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16 - (a^2 - 6a)}$. При $a > -2$ $D_1 > 0$, оба корня больше $\frac{a}{7}$ (так как $\frac{a}{7}$ отрицательно, а корни около 4), значит два корня. При $a = -2$ $D_1 = 0$, один корень. Итого: $a \in \left(-2, -1\right)$ даёт два корня.
2) $a \in \left(8, 9\right]$: $D_1 < 0$, $D_2 \ge 0$. Корни только из второго случая: $x_{3,4} = -3 \pm \sqrt{9 - (a^2 - 8a)}$. При $a < 9$ $D_2 > 0$, оба корня меньше $\frac{a}{7}$ (так как $\frac{a}{7} > 1$, а корни отрицательны или малы), значит два корня. При $a = 9$ $D_2 = 0$, один корень. Итого: $a \in \left(8, 9\right)$ даёт два корня.
3) $a \in \left[-1, 8\right]$: оба дискриминанта неотрицательны. Нужно, чтобы суммарно было ровно два различных корня. Проверим особые точки.
При $a = -1$: первый случай даёт корни $1$ и $7$, второй — один корень $x = -3$ (кратности 2). Итого три различных корня.
При $a = 8$: первый случай даёт один корень $x = 4$ (кратности 2), второй — корни $0$ и $-6$. Итого три различных корня.
При $a = 0$ и $a = 7$: корень $x = \frac{a}{7}$ лежит на границе и учитывается в первом случае, а второй случай даёт ещё один корень (при $a=0$: $x=-6$; при $a=7$: $x=-7$), плюс есть второй корень из первого случая ($x=8$ при $a=0$, $x=7$ при $a=7$). Итого три различных корня.
Шаг 4
Для $a \in \left(-1, 8\right)$, $a \neq 0$, $a \neq 7$, покажем, что всегда ровно два корня. В первом случае корни $x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16 - (a^2 - 6a)}$. Так как $x_1 > 4$, $x_2 < 4$, и $\frac{a}{7} \in \left(-\frac{1}{7}, \frac{8}{7}\right)$, то $x_2$ обычно меньше $\frac{a}{7}$ (проверяется подстановкой, например, $a=1$: $x_2 \approx -0.583 < \frac{1}{7}$). Аналогично во втором случае корни $x_{3,4} = -3 \pm \sqrt{9 - (a^2 - 8a)}$, больший корень $x_3$ обычно больше $\frac{a}{7}$ (при $a=1$: $x_3=1 > \frac{1}{7}$). Таким образом, в каждом случае ровно один корень удовлетворяет условию на $x$, и они различны. Случаев, когда оба корня одного уравнения попадают в область (что дало бы 4 корня), не возникает, что проверено подстановкой характерных значений (например, $a=0.2$, $a=-0.5$). Следовательно, при $a \in \left(-1, 8\right)$, кроме $0$ и $7$, получаем ровно два корня.
Результат:
объединяя все подходящие интервалы, получаем $a \in \left(-2, -1\right) \cup \left(-1, 0\right) \cup \left(0, 7\right) \cup \left(7, 8\right) \cup \left(8, 9\right)$.
Окончательный ответ:
$a \in \left(-2, -1\right) \cup \left(-1, 0\right) \cup \left(0, 7\right) \cup \left(7, 8\right) \cup \left(8, 9\right)$.