Шаг 1
Определим область допустимых значений.
Выражение $3^{x}+27 > 0$ верно при всех $x$. Знаменатель $3^{x}-27$ не должен быть равен нулю: $3^{x} \neq 27$, откуда $x \neq 3$.
Выражение $3^{x}+27 > 0$ верно при всех $x$. Знаменатель $3^{x}-27$ не должен быть равен нулю: $3^{x} \neq 27$, откуда $x \neq 3$.
Результат:
ОДЗ: $x \neq 3$.
Шаг 2
Рассмотрим два случая в зависимости от знака знаменателя.
Случай 1: $x > 3$. Тогда $3^{x} - 27 > 0$. Умножаем неравенство на положительный знаменатель:
$2(3^{x} - 27) \ge 3^{x} + 27$.
Раскрываем скобки: $2 \cdot 3^{x} - 54 \ge 3^{x} + 27$.
Переносим слагаемые: $2 \cdot 3^{x} - 3^{x} \ge 27 + 54$, откуда $3^{x} \ge 81$.
Так как $81 = 3^{4}$, получаем $x \ge 4$.
Результат для случая 1: $x \ge 4$.
Случай 2: $x < 3$. Тогда $3^{x} - 27 < 0$. При умножении на отрицательный знаменатель знак неравенства меняется на противоположный:
$2(3^{x} - 27) \le 3^{x} + 27$.
Но проще заметить: при $x < 3$ левая часть исходного неравенства $\frac{2}{3^{x}+27}$ положительна, а правая часть $\frac{1}{3^{x}-27}$ отрицательна, так как знаменатель отрицателен. Положительное число всегда больше или равно отрицательному.
Результат для случая 2: неравенство верно при всех $x < 3$.
Случай 1: $x > 3$. Тогда $3^{x} - 27 > 0$. Умножаем неравенство на положительный знаменатель:
$2(3^{x} - 27) \ge 3^{x} + 27$.
Раскрываем скобки: $2 \cdot 3^{x} - 54 \ge 3^{x} + 27$.
Переносим слагаемые: $2 \cdot 3^{x} - 3^{x} \ge 27 + 54$, откуда $3^{x} \ge 81$.
Так как $81 = 3^{4}$, получаем $x \ge 4$.
Результат для случая 1: $x \ge 4$.
Случай 2: $x < 3$. Тогда $3^{x} - 27 < 0$. При умножении на отрицательный знаменатель знак неравенства меняется на противоположный:
$2(3^{x} - 27) \le 3^{x} + 27$.
Но проще заметить: при $x < 3$ левая часть исходного неравенства $\frac{2}{3^{x}+27}$ положительна, а правая часть $\frac{1}{3^{x}-27}$ отрицательна, так как знаменатель отрицателен. Положительное число всегда больше или равно отрицательному.
Результат для случая 2: неравенство верно при всех $x < 3$.
Шаг 3
Объединяем решения с учётом ОДЗ.
Из случая 2: $x < 3$.
Из случая 1: $x \ge 4$.
Точка $x = 3$ исключена.
Из случая 2: $x < 3$.
Из случая 1: $x \ge 4$.
Точка $x = 3$ исключена.
Результат:
$x \in (-\infty, 3) \cup [4, \infty)$.
Окончательный ответ:
$(-\infty, 3) \cup [4, \infty)$