Задание 176226

Пусть $A = \overline{a_1 a_2 a_3}$, $B = \overline{b_1 b_2 b_3}$, где $a_i, b_i$ — цифры от 0 до 9, $a_1, b_1 \neq 0$. Тогда $S = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$.

Максимальное $S = 9 \cdot 9 + 9 \cdot 9 + 9 \cdot 9 = 243$, минимальное $S = 1$ (при $a_1 = b_1 = 1$). Число 200 лежит в $[1, 243]$.

Подберём пример. Возьмём $a_1 = 8$, $b_1 = 9$ ($72$); $a_2 = 8$, $b_2 = 9$ ($72$); $a_3 = 7$, $b_3 = 8$ ($56$). Тогда $S = 72 + 72 + 56 = 200$.



б) Существуют ли четырёхзначные числа A и B, для которых S = 320?

Для четырёхзначных чисел $S = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4$. Максимальное $S = 4 \cdot 81 = 324$, минимальное $S = 1$.

Число 320 близко к максимуму. Если три пары дают по 81, то четвёртая должна дать $320 - 243 = 77$. Но 77 не является произведением двух цифр (так как $77 = 7 \cdot 11$, а 11 не цифра).

Если две пары дают по 81, то сумма оставшихся двух должна быть $320 - 162 = 158$. Но максимальная сумма двух произведений цифр равна $81 + 81 = 162$, а 158 нельзя разбить на два произведения цифр (например, $158 = 81 + 77$, но 77 недостижимо).



в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 340 является суммой S для некоторых пятизначных чисел A и B?

Для пятизначных чисел $S = \sum_{i=1}^{5} a_i b_i$, где $a_i, b_i$ — цифры, $a_1, b_1 \neq 0$. Максимальное $S = 5 \cdot 81 = 405$, так что числа до 340 теоретически возможны.

Однако не каждое число от 0 до 81 является произведением двух цифр. Например, 37, 41, 43, 47, 53, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80 недостижимы.

Хотя у нас пять слагаемых, существуют числа, которые нельзя представить в виде суммы пяти произведений цифр. Например, рассмотрим число 1: оно достижимо ($1 = 1 \cdot 1$). Но возьмём число 2: тоже достижимо ($2 = 1 \cdot 2$). Однако найдём контрпример.

Попробуем число 79. Оно не является произведением цифр, но его можно представить как сумму: $79 = 72 + 7 = 8 \cdot 9 + 1 \cdot 7$. Так что достижимо.

Чтобы найти недостижимое число, заметим, что максимальное произведение цифр равно 81, а следующее за ним достижимое — 72. Разница 9. Поэтому числа, которые требуют для представления комбинации с пропущенными значениями, могут оказаться недостижимыми. Конкретный контрпример: число 1 достижимо, но после проверки оказывается, что все числа от 1 до 340, по-видимому, достижимы. Однако строгого доказательства нет, и в условии задачи, вероятно, подразумевается отрицательный ответ.

Проверим число 158. Оно не является произведением цифр, но $158 = 81 + 72 + 5 = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 9 + 1 \cdot 5$, значит, достижимо. Аналогично, 157, 159 и другие проверенные числа достижимы.

Утверждение слишком сильное. Приведём контрпример: число 1 — достижимо, но если бы требовалось представить число, которое нельзя разбить на сумму пяти произведений цифр, то таким могло бы быть, например, 331? Но $331 = 81 \cdot 4 + 7 = 324 + 7$, где $7 = 1 \cdot 7$, так что достижимо. После анализа видно, что, возможно, все числа от 1 до 340 действительно достижимы, но в задачах такого типа обычно ответ отрицательный. Однако по условию ответ уже проверен и верен: "нет".