Шаг 1
Замена переменной.
Пусть $t = 3^{x} > 0$. Тогда:
$9^{x} = (3^{x})^{2} = t^{2}$,
$81^{x-1} = \frac{81^{x}}{81} = \frac{(3^{4})^{x}}{81} = \frac{(3^{x})^{4}}{81} = \frac{t^{4}}{81}$,
$3^{x+2} = 3^{x} \cdot 9 = 9t$.
Исходное неравенство $3^{x} - 15 \cdot 9^{x} + 7 \cdot 3^{x+2} - 81^{x-1} \le 0$ принимает вид:
$t - 15t^{2} + 7 \cdot 9t - \frac{t^{4}}{81} \le 0$.
Пусть $t = 3^{x} > 0$. Тогда:
$9^{x} = (3^{x})^{2} = t^{2}$,
$81^{x-1} = \frac{81^{x}}{81} = \frac{(3^{4})^{x}}{81} = \frac{(3^{x})^{4}}{81} = \frac{t^{4}}{81}$,
$3^{x+2} = 3^{x} \cdot 9 = 9t$.
Исходное неравенство $3^{x} - 15 \cdot 9^{x} + 7 \cdot 3^{x+2} - 81^{x-1} \le 0$ принимает вид:
$t - 15t^{2} + 7 \cdot 9t - \frac{t^{4}}{81} \le 0$.
Результат:
$t - 15t^{2} + 63t - \frac{t^{4}}{81} \le 0$, или $64t - 15t^{2} - \frac{t^{4}}{81} \le 0$.
Шаг 2
Упрощение.
Умножим на 81 (положительное число):
$5184t - 1215t^{2} - t^{4} \le 0$,
$-t^{4} - 1215t^{2} + 5184t \le 0$.
Вынесем общий множитель $t$ (учитывая $t>0$):
$t(-t^{3} - 1215t + 5184) \le 0$.
Так как $t > 0$, делим на $t$:
$-t^{3} - 1215t + 5184 \le 0$.
Умножим на $-1$, меняя знак неравенства:
$t^{3} + 1215t - 5184 \ge 0$.
Умножим на 81 (положительное число):
$5184t - 1215t^{2} - t^{4} \le 0$,
$-t^{4} - 1215t^{2} + 5184t \le 0$.
Вынесем общий множитель $t$ (учитывая $t>0$):
$t(-t^{3} - 1215t + 5184) \le 0$.
Так как $t > 0$, делим на $t$:
$-t^{3} - 1215t + 5184 \le 0$.
Умножим на $-1$, меняя знак неравенства:
$t^{3} + 1215t - 5184 \ge 0$.
Результат:
$t^{3} + 1215t - 5184 \ge 0$.
Шаг 3
Решение кубического неравенства.
Рассмотрим $f(t) = t^{3} + 1215t - 5184$.
Производная $f'(t) = 3t^{2} + 1215 > 0$ при всех $t$, значит $f(t)$ строго возрастает на $(0, +\infty)$.
Найдём корень $t_{0}$ уравнения $f(t)=0$.
Подбором:
$f(4) = 64 + 4860 - 5184 = -260 < 0$,
$f(4.2) \approx 74.088 + 5103 - 5184 = -6.912 < 0$,
$f(4.25) = 76.765625 + 5163.75 - 5184 = 56.515625 > 0$.
Корень $t_{0}$ лежит между 4.2 и 4.25. Уточним:
$f(4.21) \approx 74.618 + 5115.15 - 5184 = 5.768 > 0$.
Таким образом, $t_{0} \approx 4.205$.
Из монотонного возрастания $f(t)$ следует: неравенство $f(t) \ge 0$ выполняется при $t \ge t_{0}$.
Рассмотрим $f(t) = t^{3} + 1215t - 5184$.
Производная $f'(t) = 3t^{2} + 1215 > 0$ при всех $t$, значит $f(t)$ строго возрастает на $(0, +\infty)$.
Найдём корень $t_{0}$ уравнения $f(t)=0$.
Подбором:
$f(4) = 64 + 4860 - 5184 = -260 < 0$,
$f(4.2) \approx 74.088 + 5103 - 5184 = -6.912 < 0$,
$f(4.25) = 76.765625 + 5163.75 - 5184 = 56.515625 > 0$.
Корень $t_{0}$ лежит между 4.2 и 4.25. Уточним:
$f(4.21) \approx 74.618 + 5115.15 - 5184 = 5.768 > 0$.
Таким образом, $t_{0} \approx 4.205$.
Из монотонного возрастания $f(t)$ следует: неравенство $f(t) \ge 0$ выполняется при $t \ge t_{0}$.
Результат:
$t \ge t_{0}$, где $t_{0}$ — единственный положительный корень уравнения $t^{3} + 1215t - 5184 = 0$.
Шаг 4
Возврат к переменной $x$.
Так как $t = 3^{x}$, имеем $3^{x} \ge t_{0}$.
Логарифмируем по основанию 3: $x \ge \log_{3} t_{0}$.
Так как $t = 3^{x}$, имеем $3^{x} \ge t_{0}$.
Логарифмируем по основанию 3: $x \ge \log_{3} t_{0}$.
Окончательный ответ:
$x \in \left[ \log_{3} t_{0},\ +\infty \right)$, где $t_{0}$ — положительный корень уравнения $t^{3} + 1215t - 5184 = 0$ (приближённо $t_{0} \approx 4.205$, тогда $x \gtrsim 1.307$).