Шаг 1
Найдем углы треугольника ABC.
$\angle BAC = 180^\circ - (40^\circ + 85^\circ) = 55^\circ$.
$\angle BAC = 180^\circ - (40^\circ + 85^\circ) = 55^\circ$.
Результат:
$\angle A = 55^\circ$, $\angle B = 40^\circ$, $\angle C = 85^\circ$.
Шаг 2
Определим положение точек M и N на описанной окружности.
Дуги: дуга $AB = 2\angle C = 170^\circ$, дуга $BC = 2\angle A = 110^\circ$, дуга $CA = 2\angle B = 80^\circ$.
Точка M: BB₁ — биссектриса $\angle B$, поэтому M — середина дуги AC. Дуга $AM =$ дуга $MC = 40^\circ$.
Дуга $BM =$ дуга $BC +$ дуга $CM = 110^\circ + 40^\circ = 150^\circ$.
Точка N: CC₁ — высота, продолженная за основание C₁. В $\triangle ACC_1$: $\angle A = 55^\circ$, $\angle AC_1C = 90^\circ$, значит $\angle ACC_1 = 35^\circ$.
Луч CN совпадает с CC₁, поэтому $\angle ACN = \angle ACC_1 = 35^\circ$. Этот вписанный угол опирается на дугу AN, значит дуга $AN = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$.
Тогда дуга $CN =$ дуга $CA +$ дуга $AN = 80^\circ + 70^\circ = 150^\circ$.
Дуги: дуга $AB = 2\angle C = 170^\circ$, дуга $BC = 2\angle A = 110^\circ$, дуга $CA = 2\angle B = 80^\circ$.
Точка M: BB₁ — биссектриса $\angle B$, поэтому M — середина дуги AC. Дуга $AM =$ дуга $MC = 40^\circ$.
Дуга $BM =$ дуга $BC +$ дуга $CM = 110^\circ + 40^\circ = 150^\circ$.
Точка N: CC₁ — высота, продолженная за основание C₁. В $\triangle ACC_1$: $\angle A = 55^\circ$, $\angle AC_1C = 90^\circ$, значит $\angle ACC_1 = 35^\circ$.
Луч CN совпадает с CC₁, поэтому $\angle ACN = \angle ACC_1 = 35^\circ$. Этот вписанный угол опирается на дугу AN, значит дуга $AN = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$.
Тогда дуга $CN =$ дуга $CA +$ дуга $AN = 80^\circ + 70^\circ = 150^\circ$.
Результат:
Дуги BM и CN равны $150^\circ$, следовательно хорды $BM = CN$. Доказан пункт а).
Шаг 3
Перейдем к пункту б). Точка D — пересечение BC и MN.
Найдем дуги: дуга $MN =$ дуга $MA +$ дуга $AN = 40^\circ + 70^\circ = 110^\circ$, дуга $BN =$ дуга $AB -$ дуга $AN = 170^\circ - 70^\circ = 100^\circ$.
Вписанные углы в треугольнике BMN:
$\angle BNM = \frac{1}{2}$ дуги $BM = 75^\circ$,
$\angle BMN = \frac{1}{2}$ дуги $BN = 50^\circ$,
$\angle MBN = \frac{1}{2}$ дуги $MN = 55^\circ$.
В треугольнике BCN: $\angle BCN = 90^\circ - \angle B = 50^\circ$, $\angle BNC = \frac{1}{2}$ дуги $BC = 55^\circ$, значит $\angle CBN = 180^\circ - 50^\circ - 55^\circ = 75^\circ$.
В треугольнике BDN: $\angle BND = \angle BNM = 75^\circ$, $\angle DBN = \angle CBN = 75^\circ$, следовательно $\angle BDN = 30^\circ$ и треугольник равнобедренный: $BD = DN$.
Найдем дуги: дуга $MN =$ дуга $MA +$ дуга $AN = 40^\circ + 70^\circ = 110^\circ$, дуга $BN =$ дуга $AB -$ дуга $AN = 170^\circ - 70^\circ = 100^\circ$.
Вписанные углы в треугольнике BMN:
$\angle BNM = \frac{1}{2}$ дуги $BM = 75^\circ$,
$\angle BMN = \frac{1}{2}$ дуги $BN = 50^\circ$,
$\angle MBN = \frac{1}{2}$ дуги $MN = 55^\circ$.
В треугольнике BCN: $\angle BCN = 90^\circ - \angle B = 50^\circ$, $\angle BNC = \frac{1}{2}$ дуги $BC = 55^\circ$, значит $\angle CBN = 180^\circ - 50^\circ - 55^\circ = 75^\circ$.
В треугольнике BDN: $\angle BND = \angle BNM = 75^\circ$, $\angle DBN = \angle CBN = 75^\circ$, следовательно $\angle BDN = 30^\circ$ и треугольник равнобедренный: $BD = DN$.
Шаг 4
Найдем площадь $\triangle BDN$, где высота $BH = 6$ проведена к стороне DN.
Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot DN \cdot BH = 3 \cdot DN$. Осталось найти DN.
Рассмотрим $\triangle BDH$ (H — основание высоты на DN). В нём $\angle BDH = 30^\circ$, $BH = 6$, поэтому $BD = \frac{BH}{\sin 30^\circ} = \frac{6}{1/2} = 12$.
Так как $BD = DN$, то $DN = 12$.
Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot DN \cdot BH = 3 \cdot DN$. Осталось найти DN.
Рассмотрим $\triangle BDH$ (H — основание высоты на DN). В нём $\angle BDH = 30^\circ$, $BH = 6$, поэтому $BD = \frac{BH}{\sin 30^\circ} = \frac{6}{1/2} = 12$.
Так как $BD = DN$, то $DN = 12$.
Окончательный ответ:
$S_{\triangle BDN} = 3 \cdot 12 = 36$.