Задание 244325

Упростим уравнение.
Дано: $a^2 + ax - 2x^2 - 6a - 3x + 9|x| = 0$.
Перепишем: $2x^2 + (3-a)x - 9|x| + 6a - a^2 = 0$.

Рассмотрим два случая для $|x|$.

При $x \ge 0$ ($|x| = x$):
$2x^2 + (3-a)x - 9x + 6a - a^2 = 0$
$2x^2 - (a+6)x + 6a - a^2 = 0$ (1)

При $x < 0$ ($|x| = -x$):
$2x^2 + (3-a)x + 9x + 6a - a^2 = 0$
$2x^2 + (12-a)x + 6a - a^2 = 0$ (2)


(1) $2x^2 - (a+6)x + 6a - a^2 = 0$ для $x \ge 0$
(2) $2x^2 + (12-a)x + 6a - a^2 = 0$ для $x < 0$

Найдём корни уравнений.

Дискриминант (1):
$D_1 = (a+6)^2 - 8(6a - a^2) = 9a^2 - 36a + 36 = 9(a-2)^2$
Корни: $x_{1,2} = \frac{a+6 \pm 3|a-2|}{4}$

Дискриминант (2):
$D_2 = (12-a)^2 - 8(6a - a^2) = 9a^2 - 72a + 144 = 9(a-4)^2$
Корни: $x_{3,4} = \frac{a-12 \pm 3|a-4|}{4}$

Анализ количества корней в зависимости от $a$.

Рассмотрим интервалы:

1. $a < 0$:
(1): $x_1 = 3 - \frac{a}{2} > 0$, $x_2 = a < 0$ (не подходит) $\Rightarrow$ 1 корень.
(2): $x_3 = -\frac{a}{2} > 0$ (не подходит), $x_4 = a-6 < 0$ $\Rightarrow$ 1 корень.
Всего 2 корня.

2. $a = 0$:
(1): $x_1 = 3$, $x_2 = 0$ $\Rightarrow$ 2 корня.
(2): $x_3 = 0$ (не подходит), $x_4 = -6$ $\Rightarrow$ 1 корень.
Всего 3 корня ($3, 0, -6$).

3. $0 < a < 2$:
(1): $x_1 = 3 - \frac{a}{2} > 0$, $x_2 = a > 0$ $\Rightarrow$ 2 корня.
(2): $x_3 = -\frac{a}{2} < 0$, $x_4 = a-6 < 0$ $\Rightarrow$ 2 корня.
Все 4 корня различны (проверка совпадений даёт $a=0$ или $a=6$).
Всего 4 корня.

4. $2 \le a < 4$:
(1): $x_1 = a \ge 0$, $x_2 = 3 - \frac{a}{2} > 0$ $\Rightarrow$ 2 корня.
(2): $x_3 = -\frac{a}{2} < 0$, $x_4 = a-6 < 0$ $\Rightarrow$ 2 корня.
Все 4 корня различны.
Всего 4 корня.

5. $a = 2$:
(1): $x_1 = x_2 = 2$ (кратный корень) $\Rightarrow$ 1 корень.
(2): $x_3 = -1$, $x_4 = -4$ $\Rightarrow$ 2 корня.
Всего 3 корня ($2, -1, -4$).

6. $a = 4$:
(1): $x_1 = 4$, $x_2 = 1$ $\Rightarrow$ 2 корня.
(2): $x_3 = x_4 = -2$ (кратный корень) $\Rightarrow$ 1 корень.
Всего 3 корня ($4, 1, -2$).

7. $4 < a < 6$:
(1): $x_1 = a > 0$, $x_2 = 3 - \frac{a}{2} > 0$ $\Rightarrow$ 2 корня.
(2): $x_3 = a-6 < 0$, $x_4 = -\frac{a}{2} < 0$ $\Rightarrow$ 2 корня.
Все 4 корня различны.
Всего 4 корня.

8. $a = 6$:
(1): $x_1 = 6$, $x_2 = 0$ $\Rightarrow$ 2 корня.
(2): $x_3 = 0$ (не подходит), $x_4 = -3$ $\Rightarrow$ 1 корень.
Всего 3 корня ($6, 0, -3$).

9. $a > 6$:
(1): $x_1 = a > 0$, $x_2 = 3 - \frac{a}{2} < 0$ (не подходит) $\Rightarrow$ 1 корень.
(2): $x_3 = a-6 > 0$ (не подходит), $x_4 = -\frac{a}{2} < 0$ $\Rightarrow$ 1 корень.
Всего 2 корня.

Условие "меньше четырёх различных корней" выполняется при:
- $a < 0$ (2 корня)
- $a = 0$ (3 корня)
- $a = 2$ (3 корня)
- $a = 4$ (3 корня)
- $a = 6$ (3 корня)
- $a > 6$ (2 корня)