Шаг 1
Выразим все слагаемые через $2^x$ и $3^x$:
$12^x = (2^2 \cdot 3)^x = 2^{2x} \cdot 3^x$,
$8^x = 2^{3x}$,
$2 \cdot 6^{x+1} = 2 \cdot (2 \cdot 3)^{x+1} = 2^{x+2} \cdot 3^{x+1}$,
$3 \cdot 4^{x+1} = 3 \cdot (2^2)^{x+1} = 3 \cdot 2^{2x+2}$,
$32 \cdot 3^x = 2^5 \cdot 3^x$,
$2^{x+5} = 2^x \cdot 2^5 = 32 \cdot 2^x$.
$12^x = (2^2 \cdot 3)^x = 2^{2x} \cdot 3^x$,
$8^x = 2^{3x}$,
$2 \cdot 6^{x+1} = 2 \cdot (2 \cdot 3)^{x+1} = 2^{x+2} \cdot 3^{x+1}$,
$3 \cdot 4^{x+1} = 3 \cdot (2^2)^{x+1} = 3 \cdot 2^{2x+2}$,
$32 \cdot 3^x = 2^5 \cdot 3^x$,
$2^{x+5} = 2^x \cdot 2^5 = 32 \cdot 2^x$.
Результат:
все степени выражены через $2^x$ и $3^x$.
Шаг 2
Введём замены $a = 2^x > 0$, $b = 3^x > 0$. Подставим:
$12^x = a^2 b$,
$8^x = a^3$,
$2 \cdot 6^{x+1} = 4a \cdot 3b = 12ab$,
$3 \cdot 4^{x+1} = 12a^2$,
$32 \cdot 3^x = 32b$,
$2^{x+5} = 32a$.
Неравенство принимает вид:
$a^2 b - a^3 - 12ab + 12a^2 + 32b - 32a \le 0$.
$12^x = a^2 b$,
$8^x = a^3$,
$2 \cdot 6^{x+1} = 4a \cdot 3b = 12ab$,
$3 \cdot 4^{x+1} = 12a^2$,
$32 \cdot 3^x = 32b$,
$2^{x+5} = 32a$.
Неравенство принимает вид:
$a^2 b - a^3 - 12ab + 12a^2 + 32b - 32a \le 0$.
Результат:
получено неравенство относительно $a$ и $b$.
Шаг 3
Сгруппируем и разложим на множители:
$b(a^2 - 12a + 32) - a(a^2 - 12a + 32) \le 0$,
$(b - a)(a^2 - 12a + 32) \le 0$.
$b(a^2 - 12a + 32) - a(a^2 - 12a + 32) \le 0$,
$(b - a)(a^2 - 12a + 32) \le 0$.
Результат:
неравенство факторизовано.
Шаг 4
Разложим квадратный трёхчлен: $a^2 - 12a + 32 = (a - 4)(a - 8)$. Возвращаемся к $x$: $a = 2^x$, $b = 3^x$. Получаем:
$(3^x - 2^x)(2^x - 4)(2^x - 8) \le 0$.
$(3^x - 2^x)(2^x - 4)(2^x - 8) \le 0$.
Результат:
неравенство приведено к произведению трёх множителей.
Шаг 5
Определим знаки каждого множителя в зависимости от $x$:
- $3^x - 2^x > 0$ при $x > 0$, равно $0$ при $x = 0$, меньше $0$ при $x < 0$.
- $2^x - 4 > 0$ при $x > 2$, равно $0$ при $x = 2$, меньше $0$ при $x < 2$.
- $2^x - 8 > 0$ при $x > 3$, равно $0$ при $x = 3$, меньше $0$ при $x < 3$.
Составим таблицу знаков по критическим точкам $x = 0$, $x = 2$, $x = 3$:
$x \in (-\infty, 0)$: знаки $(-, -, -)$, произведение $-$.
$x = 0$: множитель $3^x - 2^x = 0$, произведение $0$.
$x \in (0, 2)$: знаки $(+, -, -)$, произведение $+$.
$x = 2$: множитель $2^x - 4 = 0$, произведение $0$.
$x \in (2, 3)$: знаки $(+, +, -)$, произведение $-$.
$x = 3$: множитель $2^x - 8 = 0$, произведение $0$.
$x \in (3, +\infty)$: знаки $(+, +, +)$, произведение $+$.
Неравенство $\le 0$ выполняется при $x \le 0$ и при $2 \le x \le 3$.
- $3^x - 2^x > 0$ при $x > 0$, равно $0$ при $x = 0$, меньше $0$ при $x < 0$.
- $2^x - 4 > 0$ при $x > 2$, равно $0$ при $x = 2$, меньше $0$ при $x < 2$.
- $2^x - 8 > 0$ при $x > 3$, равно $0$ при $x = 3$, меньше $0$ при $x < 3$.
Составим таблицу знаков по критическим точкам $x = 0$, $x = 2$, $x = 3$:
$x \in (-\infty, 0)$: знаки $(-, -, -)$, произведение $-$.
$x = 0$: множитель $3^x - 2^x = 0$, произведение $0$.
$x \in (0, 2)$: знаки $(+, -, -)$, произведение $+$.
$x = 2$: множитель $2^x - 4 = 0$, произведение $0$.
$x \in (2, 3)$: знаки $(+, +, -)$, произведение $-$.
$x = 3$: множитель $2^x - 8 = 0$, произведение $0$.
$x \in (3, +\infty)$: знаки $(+, +, +)$, произведение $+$.
Неравенство $\le 0$ выполняется при $x \le 0$ и при $2 \le x \le 3$.
Результат:
решение неравенства — $(-\infty, 0] \cup [2, 3]$.
Окончательный ответ:
$(-\infty, 0] \cup [2, 3]$