Шаг 1
В январе 2021 года долг увеличивается на $r\%$: $200000 \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)$.
Шаг 2
После выплаты 130000 рублей в 2021 году остаток долга: $200000 \left(1 + \frac{r}{100}\right) - 130000$.
Шаг 3
В январе 2022 года остаток снова увеличивается на $r\%$: $\left[200000 \left(1 + \frac{r}{100}\right) - 130000\right] \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)$.
Шаг 4
После выплаты 150000 рублей в 2022 году долг погашен. Уравнение:
$\left[200000 \left(1 + \frac{r}{100}\right) - 130000\right] \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right) - 150000 = 0$.
$\left[200000 \left(1 + \frac{r}{100}\right) - 130000\right] \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right) - 150000 = 0$.
Шаг 5
Введем замену $x = 1 + \frac{r}{100}$. Уравнение принимает вид:
$(200000x - 130000)x - 150000 = 0 \Rightarrow 200000x^2 - 130000x - 150000 = 0$.
$(200000x - 130000)x - 150000 = 0 \Rightarrow 200000x^2 - 130000x - 150000 = 0$.
Шаг 6
Сократим на 1000: $200x^2 - 130x - 150 = 0$. Делим на 10: $20x^2 - 13x - 15 = 0$.
Шаг 7
Найдем дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-15) = 169 + 1200 = 1369$. $\sqrt{D} = 37$.
Шаг 8
Корень уравнения: $x = \frac{13 + 37}{2 \cdot 20} = \frac{50}{40} = 1.25$ (второй корень отрицателен и не подходит).
Шаг 9
Из $x = 1 + \frac{r}{100}$ получаем $1.25 = 1 + \frac{r}{100} \Rightarrow \frac{r}{100} = 0.25 \Rightarrow r = 25$.
Окончательный ответ:
25