Шаг 1
Применяем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием.
$\log_{11}(8x^2+7) - \log_{11}(x^2+x+1) = \log_{11}\left( \frac{8x^2+7}{x^2+x+1} \right)$.
Исходное неравенство принимает вид:
$\log_{11}\left( \frac{8x^2+7}{x^2+x+1} \right) \geq \log_{11}\left( \frac{x}{x^5+7} \right)$.
$\log_{11}(8x^2+7) - \log_{11}(x^2+x+1) = \log_{11}\left( \frac{8x^2+7}{x^2+x+1} \right)$.
Исходное неравенство принимает вид:
$\log_{11}\left( \frac{8x^2+7}{x^2+x+1} \right) \geq \log_{11}\left( \frac{x}{x^5+7} \right)$.
Шаг 2
Учитывая, что основание логарифма $11 > 1$, функция $\log_{11} t$ возрастает. Переходим к неравенству для аргументов:
$\frac{8x^2+7}{x^2+x+1} \geq \frac{x}{x^5+7}$.
$\frac{8x^2+7}{x^2+x+1} \geq \frac{x}{x^5+7}$.
Шаг 3
Находим область допустимых значений (ОДЗ).
Аргументы логарифмов должны быть положительны:
1) $8x^2+7 > 0$ — верно для всех $x$, так как $8x^2 \geq 0$.
2) $x^2+x+1 > 0$. Дискриминант $D = 1 - 4 = -3 < 0$, старший коэффициент положителен, значит, выражение положительно при всех $x$.
3) $\frac{x}{x^5+7} > 0$. Это дробь, она положительна, когда числитель и знаменатель одного знака.
Рассмотрим $x^5+7$. Функция $x^5$ возрастает, $x^5+7=0$ при $x = -\sqrt[5]{7}$. Тогда:
- При $x > -\sqrt[5]{7}$ имеем $x^5+7 > 0$.
- При $x < -\sqrt[5]{7}$ имеем $x^5+7 < 0$.
Условие $\frac{x}{x^5+7} > 0$ выполняется в двух случаях:
Система 1: $x > 0$ и $x^5+7 > 0$ (т.е. $x > -\sqrt[5]{7}$). Так как $x > 0$, это условие сводится к $x > 0$.
Система 2: $x < 0$ и $x^5+7 < 0$ (т.е. $x < -\sqrt[5]{7}$).
Итак, ОДЗ: $x > 0$ или $x < -\sqrt[5]{7}$.
Аргументы логарифмов должны быть положительны:
1) $8x^2+7 > 0$ — верно для всех $x$, так как $8x^2 \geq 0$.
2) $x^2+x+1 > 0$. Дискриминант $D = 1 - 4 = -3 < 0$, старший коэффициент положителен, значит, выражение положительно при всех $x$.
3) $\frac{x}{x^5+7} > 0$. Это дробь, она положительна, когда числитель и знаменатель одного знака.
Рассмотрим $x^5+7$. Функция $x^5$ возрастает, $x^5+7=0$ при $x = -\sqrt[5]{7}$. Тогда:
- При $x > -\sqrt[5]{7}$ имеем $x^5+7 > 0$.
- При $x < -\sqrt[5]{7}$ имеем $x^5+7 < 0$.
Условие $\frac{x}{x^5+7} > 0$ выполняется в двух случаях:
Система 1: $x > 0$ и $x^5+7 > 0$ (т.е. $x > -\sqrt[5]{7}$). Так как $x > 0$, это условие сводится к $x > 0$.
Система 2: $x < 0$ и $x^5+7 < 0$ (т.е. $x < -\sqrt[5]{7}$).
Итак, ОДЗ: $x > 0$ или $x < -\sqrt[5]{7}$.
Шаг 4
Решаем неравенство $\frac{8x^2+7}{x^2+x+1} \geq \frac{x}{x^5+7}$ на ОДЗ.
Переносим всё в одну сторону:
$\frac{8x^2+7}{x^2+x+1} - \frac{x}{x^5+7} \geq 0$.
Приводим к общему знаменателю $(x^2+x+1)(x^5+7)$:
$\frac{(8x^2+7)(x^5+7) - x(x^2+x+1)}{(x^2+x+1)(x^5+7)} \geq 0$.
Знаменатель положителен на ОДЗ? Проверим:
- $x^2+x+1 > 0$ всегда.
- На ОДЗ: если $x > 0$, то $x^5+7 > 0$; если $x < -\sqrt[5]{7}$, то $x^5+7 < 0$.
Таким образом, знак дроби определяется знаком числителя и знаком $(x^5+7)$.
Удобнее умножить неравенство на $(x^5+7)^2$, что положительно при $x^5+7 \neq 0$ (а на ОДЗ это так). Получим:
$(8x^2+7)(x^5+7) - x(x^2+x+1) \cdot (x^5+7) \geq 0$.
Выносим $(x^5+7)$ за скобку:
$(x^5+7)\left[ (8x^2+7) - x(x^2+x+1) \right] \geq 0$.
Упрощаем выражение в квадратных скобках:
$(8x^2+7) - x(x^2+x+1) = 8x^2+7 - x^3 - x^2 - x = -x^3 + 7x^2 - x + 7$.
Группируем: $(-x^3+7x^2) + (-x+7) = x^2(-x+7) + 1(-x+7) = (-x+7)(x^2+1)$.
Тогда неравенство принимает вид:
$(x^5+7)(-x+7)(x^2+1) \geq 0$.
Так как $x^2+1 > 0$ всегда, его можно опустить. Получаем:
$(x^5+7)(7-x) \geq 0$.
Переносим всё в одну сторону:
$\frac{8x^2+7}{x^2+x+1} - \frac{x}{x^5+7} \geq 0$.
Приводим к общему знаменателю $(x^2+x+1)(x^5+7)$:
$\frac{(8x^2+7)(x^5+7) - x(x^2+x+1)}{(x^2+x+1)(x^5+7)} \geq 0$.
Знаменатель положителен на ОДЗ? Проверим:
- $x^2+x+1 > 0$ всегда.
- На ОДЗ: если $x > 0$, то $x^5+7 > 0$; если $x < -\sqrt[5]{7}$, то $x^5+7 < 0$.
Таким образом, знак дроби определяется знаком числителя и знаком $(x^5+7)$.
Удобнее умножить неравенство на $(x^5+7)^2$, что положительно при $x^5+7 \neq 0$ (а на ОДЗ это так). Получим:
$(8x^2+7)(x^5+7) - x(x^2+x+1) \cdot (x^5+7) \geq 0$.
Выносим $(x^5+7)$ за скобку:
$(x^5+7)\left[ (8x^2+7) - x(x^2+x+1) \right] \geq 0$.
Упрощаем выражение в квадратных скобках:
$(8x^2+7) - x(x^2+x+1) = 8x^2+7 - x^3 - x^2 - x = -x^3 + 7x^2 - x + 7$.
Группируем: $(-x^3+7x^2) + (-x+7) = x^2(-x+7) + 1(-x+7) = (-x+7)(x^2+1)$.
Тогда неравенство принимает вид:
$(x^5+7)(-x+7)(x^2+1) \geq 0$.
Так как $x^2+1 > 0$ всегда, его можно опустить. Получаем:
$(x^5+7)(7-x) \geq 0$.
Шаг 5
Решаем неравенство $(x^5+7)(7-x) \geq 0$.
Рассмотрим $x^5+7 = 0 \Rightarrow x = -\sqrt[5]{7}$.
Рассмотрим $7-x = 0 \Rightarrow x = 7$.
Метод интервалов на всей числовой прямой:
- При $x < -\sqrt[5]{7}$: $x^5+7 < 0$, $7-x > 0$, произведение отрицательно.
- При $-\sqrt[5]{7} < x < 7$: $x^5+7 > 0$, $7-x > 0$, произведение положительно.
- При $x > 7$: $x^5+7 > 0$, $7-x < 0$, произведение отрицательно.
В точках $x = -\sqrt[5]{7}$ и $x = 7$ произведение равно нулю, включаем их в решение неравенства $\geq 0$.
Таким образом, неравенство $(x^5+7)(7-x) \geq 0$ выполняется при $x \in \left[ -\sqrt[5]{7}, 7 \right]$.
Рассмотрим $x^5+7 = 0 \Rightarrow x = -\sqrt[5]{7}$.
Рассмотрим $7-x = 0 \Rightarrow x = 7$.
Метод интервалов на всей числовой прямой:
- При $x < -\sqrt[5]{7}$: $x^5+7 < 0$, $7-x > 0$, произведение отрицательно.
- При $-\sqrt[5]{7} < x < 7$: $x^5+7 > 0$, $7-x > 0$, произведение положительно.
- При $x > 7$: $x^5+7 > 0$, $7-x < 0$, произведение отрицательно.
В точках $x = -\sqrt[5]{7}$ и $x = 7$ произведение равно нулю, включаем их в решение неравенства $\geq 0$.
Таким образом, неравенство $(x^5+7)(7-x) \geq 0$ выполняется при $x \in \left[ -\sqrt[5]{7}, 7 \right]$.
Шаг 6
Учитываем ОДЗ ($x > 0$ или $x < -\sqrt[5]{7}$) и найденное решение неравенства.
Пересекаем $\left[ -\sqrt[5]{7}, 7 \right]$ с ОДЗ:
1) Для $x < -\sqrt[5]{7}$: пересечение даёт только точку $x = -\sqrt[5]{7}$ (так как интервал $x < -\sqrt[5]{7}$ не входит в $\left[ -\sqrt[5]{7}, 7 \right]$).
2) Для $x > 0$: пересечение с $\left[ -\sqrt[5]{7}, 7 \right]$ даёт $x \in (0, 7]$.
Объединяем: $x = -\sqrt[5]{7}$ и $x \in (0, 7]$.
Пересекаем $\left[ -\sqrt[5]{7}, 7 \right]$ с ОДЗ:
1) Для $x < -\sqrt[5]{7}$: пересечение даёт только точку $x = -\sqrt[5]{7}$ (так как интервал $x < -\sqrt[5]{7}$ не входит в $\left[ -\sqrt[5]{7}, 7 \right]$).
2) Для $x > 0$: пересечение с $\left[ -\sqrt[5]{7}, 7 \right]$ даёт $x \in (0, 7]$.
Объединяем: $x = -\sqrt[5]{7}$ и $x \in (0, 7]$.
Результат:
$x = -\sqrt[5]{7}$ или $0 < x \leq 7$.
Окончательный ответ:
$x = -\sqrt[5]{7}$; $x \in (0, 7]$.