Шаг 1
Поместим вершину угла в начало координат: $N = (0,0)$. Направим биссектрису угла по оси $Ox$. Центр окружности $O$ лежит на биссектрисе, поэтому $O = (d, 0)$. Пусть стороны угла образуют с биссектрисой углы $\pm \alpha$. Тогда координаты точек касания: $A = (d \cos^2 \alpha, d \sin \alpha \cos \alpha)$, $B = (d \cos^2 \alpha, -d \sin \alpha \cos \alpha)$.
Шаг 2
Из условия $AB = 24$ находим вертикальное расстояние между $A$ и $B$: $2d \sin \alpha \cos \alpha = 24$, откуда $d \sin \alpha \cos \alpha = 12$.
Шаг 3
Так как $BC$ — диаметр, точка $C$ симметрична $B$ относительно $O$: $C = 2O - B = (2d - d \cos^2 \alpha, 0 + d \sin \alpha \cos \alpha) = (d(2 - \cos^2 \alpha), d \sin \alpha \cos \alpha)$. Заметим, что $y_A = y_C$, значит, отрезок $AC$ горизонтален. Его длина: $AC = x_C - x_A = d(2 - \cos^2 \alpha) - d \cos^2 \alpha = 2d \sin^2 \alpha$. По условию $AC = 10$, поэтому $2d \sin^2 \alpha = 10$, откуда $d \sin^2 \alpha = 5$.
Шаг 4
Разделим равенство из шага 2 на равенство из шага 3: $\frac{d \sin \alpha \cos \alpha}{d \sin^2 \alpha} = \frac{12}{5} \Rightarrow \cot \alpha = \frac{12}{5}$, следовательно, $\tan \alpha = \frac{5}{12}$. Тогда $\sin \alpha = \frac{5}{13}$, $\cos \alpha = \frac{12}{13}$.
Шаг 5
Подставим $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13} = \frac{60}{169}$ в уравнение $d \sin \alpha \cos \alpha = 12$. Получаем $d \cdot \frac{60}{169} = 12$, откуда $d = 12 \cdot \frac{169}{60} = \frac{169}{5}$.
Окончательный ответ:
$NO = d = \frac{169}{5}$.