Шаг 1
Построение сечения.
$PQ$ — средняя линия квадрата $ABCD$, поэтому $PQ \parallel AB \parallel CD$.
Точка $M$ лежит на $SD$.
В плоскости $SCD$ проведём через $M$ прямую, параллельную $CD$; она пересечёт $SC$ в точке $L$.
Тогда $ML \parallel PQ$.
Сечение плоскостью $MPQ$ пересекает:
- грань $SAD$ по отрезку $MQ$,
- грань $SCD$ по отрезку $ML$,
- грань $SBC$ по отрезку $LP$,
- основание $ABCD$ по отрезку $PQ$.
Таким образом, сечение — четырёхугольник $MQPL$, у которого $ML \parallel PQ$, значит, это трапеция.
$PQ$ — средняя линия квадрата $ABCD$, поэтому $PQ \parallel AB \parallel CD$.
Точка $M$ лежит на $SD$.
В плоскости $SCD$ проведём через $M$ прямую, параллельную $CD$; она пересечёт $SC$ в точке $L$.
Тогда $ML \parallel PQ$.
Сечение плоскостью $MPQ$ пересекает:
- грань $SAD$ по отрезку $MQ$,
- грань $SCD$ по отрезку $ML$,
- грань $SBC$ по отрезку $LP$,
- основание $ABCD$ по отрезку $PQ$.
Таким образом, сечение — четырёхугольник $MQPL$, у которого $ML \parallel PQ$, значит, это трапеция.
Шаг 2
Докажем, что $MQ = PL$ (равнобедренность).
Введём координаты: пусть сторона квадрата $2$, $A(-1,-1,0)$, $B(1,-1,0)$, $C(1,1,0)$, $D(-1,1,0)$, $S(0,0,h)$.
Тогда $P(1,0,0)$, $Q(-1,0,0)$.
Так как $SM:MD=2:1$, то $M = \left( -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{h}{3} \right)$.
Из $ML \parallel CD$ находим $L$: $L = \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{h}{3} \right)$.
Вычислим длины:
$MQ^2 = \left( -1 + \frac{2}{3} \right)^2 + \left( 0 - \frac{2}{3} \right)^2 + \left( 0 - \frac{h}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{h^2}{9} = \frac{5+h^2}{9}$,
$PL^2 = \left( 1 - \frac{2}{3} \right)^2 + \left( 0 - \frac{2}{3} \right)^2 + \left( 0 - \frac{h}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{h^2}{9} = \frac{5+h^2}{9}$.
Следовательно, $MQ = PL$, трапеция $MQPL$ равнобедренная.
б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
Введём координаты: пусть сторона квадрата $2$, $A(-1,-1,0)$, $B(1,-1,0)$, $C(1,1,0)$, $D(-1,1,0)$, $S(0,0,h)$.
Тогда $P(1,0,0)$, $Q(-1,0,0)$.
Так как $SM:MD=2:1$, то $M = \left( -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{h}{3} \right)$.
Из $ML \parallel CD$ находим $L$: $L = \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{h}{3} \right)$.
Вычислим длины:
$MQ^2 = \left( -1 + \frac{2}{3} \right)^2 + \left( 0 - \frac{2}{3} \right)^2 + \left( 0 - \frac{h}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{h^2}{9} = \frac{5+h^2}{9}$,
$PL^2 = \left( 1 - \frac{2}{3} \right)^2 + \left( 0 - \frac{2}{3} \right)^2 + \left( 0 - \frac{h}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{h^2}{9} = \frac{5+h^2}{9}$.
Следовательно, $MQ = PL$, трапеция $MQPL$ равнобедренная.
б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
Шаг 1
Объём всей пирамиды $V_0 = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot h = \frac{4h}{3}$ (площадь основания $4$, высота $h$).
Шаг 2
Верхняя часть (с вершиной $S$) разбивается плоскостью $MPQ$ на два тетраэдра: $SMPQ$ и $SMPL$ (диагональ $MP$ делит четырёхугольник $MQPL$ на два треугольника).
Найдём объём $V_1 = V_{SMPQ} + V_{SMPL}$.
Для $SMPQ$: векторы
$\overrightarrow{SM} = \left( -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2h}{3} \right)$,
$\overrightarrow{SP} = (1,0,-h)$,
$\overrightarrow{SQ} = (-1,0,-h)$.
Смешанное произведение (определитель матрицы из этих векторов):
$\left| $-\frac{2}{3} , \frac{2}{3} , -\frac{2h}{3}$; $1 , 0 , -h$; $-1 , 0 , -h$ \right| = -\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot (-2h) + \left( -\frac{2h}{3} \right) \cdot 0 = \frac{4h}{3}$.
Тогда $V_{SMPQ} = \frac{1}{6} \left| \frac{4h}{3} \right| = \frac{2h}{9}$.
Для $SMPL$: векторы
$\overrightarrow{SM} = \left( -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2h}{3} \right)$,
$\overrightarrow{SP} = (1,0,-h)$,
$\overrightarrow{SL} = \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2h}{3} \right)$.
Смешанное произведение:
$\left| $-\frac{2}{3} , \frac{2}{3} , -\frac{2h}{3}$; $1 , 0 , -h$; $\frac{2}{3} , \frac{2}{3} , -\frac{2h}{3}$ \right| = -\frac{2}{3} \cdot \frac{2h}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0 + \left( -\frac{2h}{3} \right) \cdot \frac{2}{3} = -\frac{4h}{9} - \frac{4h}{9} = -\frac{8h}{9}$.
Тогда $V_{SMPL} = \frac{1}{6} \left| -\frac{8h}{9} \right| = \frac{4h}{27}$.
Итак, $V_1 = \frac{2h}{9} + \frac{4h}{27} = \frac{6h}{27} + \frac{4h}{27} = \frac{10h}{27}$.
Найдём объём $V_1 = V_{SMPQ} + V_{SMPL}$.
Для $SMPQ$: векторы
$\overrightarrow{SM} = \left( -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2h}{3} \right)$,
$\overrightarrow{SP} = (1,0,-h)$,
$\overrightarrow{SQ} = (-1,0,-h)$.
Смешанное произведение (определитель матрицы из этих векторов):
$\left| $-\frac{2}{3} , \frac{2}{3} , -\frac{2h}{3}$; $1 , 0 , -h$; $-1 , 0 , -h$ \right| = -\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot (-2h) + \left( -\frac{2h}{3} \right) \cdot 0 = \frac{4h}{3}$.
Тогда $V_{SMPQ} = \frac{1}{6} \left| \frac{4h}{3} \right| = \frac{2h}{9}$.
Для $SMPL$: векторы
$\overrightarrow{SM} = \left( -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2h}{3} \right)$,
$\overrightarrow{SP} = (1,0,-h)$,
$\overrightarrow{SL} = \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2h}{3} \right)$.
Смешанное произведение:
$\left| $-\frac{2}{3} , \frac{2}{3} , -\frac{2h}{3}$; $1 , 0 , -h$; $\frac{2}{3} , \frac{2}{3} , -\frac{2h}{3}$ \right| = -\frac{2}{3} \cdot \frac{2h}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0 + \left( -\frac{2h}{3} \right) \cdot \frac{2}{3} = -\frac{4h}{9} - \frac{4h}{9} = -\frac{8h}{9}$.
Тогда $V_{SMPL} = \frac{1}{6} \left| -\frac{8h}{9} \right| = \frac{4h}{27}$.
Итак, $V_1 = \frac{2h}{9} + \frac{4h}{27} = \frac{6h}{27} + \frac{4h}{27} = \frac{10h}{27}$.
Шаг 3
Объём нижней части $V_2 = V_0 - V_1 = \frac{4h}{3} - \frac{10h}{27} = \frac{36h}{27} - \frac{10h}{27} = \frac{26h}{27}$.
Отношение объёмов: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{10h}{27}}{\frac{26h}{27}} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$.
Отношение объёмов: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{10h}{27}}{\frac{26h}{27}} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$.
Окончательный ответ:
$\frac{5}{13}$.