Шаг 1
Преобразуем неравенство.
$15x - 3^{x+1} - 5^{x+1} + 15 - x^2 + 2x \ge 0$.
Сгруппируем: $( -x^2 + 17x + 15 ) - ( 3^{x+1} + 5^{x+1} ) \ge 0$.
Получаем: $-x^2 + 17x + 15 \ge 3^{x+1} + 5^{x+1}$.
$15x - 3^{x+1} - 5^{x+1} + 15 - x^2 + 2x \ge 0$.
Сгруппируем: $( -x^2 + 17x + 15 ) - ( 3^{x+1} + 5^{x+1} ) \ge 0$.
Получаем: $-x^2 + 17x + 15 \ge 3^{x+1} + 5^{x+1}$.
Шаг 2
Упростим левую часть, выделив полный квадрат.
$-x^2 + 17x + 15 = -\left( x^2 - 17x \right) + 15 = -\left( x^2 - 17x + \left( \frac{17}{2} \right)^2 \right) + 15 + \left( \frac{17}{2} \right)^2$.
$\left( \frac{17}{2} \right)^2 = \frac{289}{4} = 72.25$.
Итак, $f(x) = -\left( x - 8.5 \right)^2 + 87.25$.
$-x^2 + 17x + 15 = -\left( x^2 - 17x \right) + 15 = -\left( x^2 - 17x + \left( \frac{17}{2} \right)^2 \right) + 15 + \left( \frac{17}{2} \right)^2$.
$\left( \frac{17}{2} \right)^2 = \frac{289}{4} = 72.25$.
Итак, $f(x) = -\left( x - 8.5 \right)^2 + 87.25$.
Шаг 3
Упростим правую часть.
$3^{x+1} + 5^{x+1} = 3 \cdot 3^x + 5 \cdot 5^x$.
Обозначим $g(x) = 3 \cdot 3^x + 5 \cdot 5^x$.
$3^{x+1} + 5^{x+1} = 3 \cdot 3^x + 5 \cdot 5^x$.
Обозначим $g(x) = 3 \cdot 3^x + 5 \cdot 5^x$.
Шаг 4
Анализ функций.
$f(x)$ — квадратичная функция, парабола ветвями вниз с максимумом $87.25$ в точке $x = 8.5$.
$g(x)$ — сумма показательных функций с основаниями больше 1, строго возрастает на $\mathbb{R}$.
$f(x)$ — квадратичная функция, парабола ветвями вниз с максимумом $87.25$ в точке $x = 8.5$.
$g(x)$ — сумма показательных функций с основаниями больше 1, строго возрастает на $\mathbb{R}$.
Шаг 5
Найдём корень уравнения $f(x) = g(x)$.
Так как $f(x)$ имеет максимум, а $g(x)$ монотонно возрастает, уравнение имеет не более двух корней. Подбором:
При $x = 0$: $f(0) = 15$, $g(0) = 8$ $\Rightarrow$ $f > g$.
При $x = 1$: $f(1) = 31$, $g(1) = 34$ $\Rightarrow$ $f < g$.
Значит, корень $x_0$ лежит в интервале $(0, 1)$.
Уточним: $f(0.9) \approx 29.49$, $g(0.9) \approx 29.344$ $\Rightarrow$ $f > g$.
$f(0.91) \approx 29.642$, $g(0.91) \approx 29.784$ $\Rightarrow$ $f < g$.
Следовательно, $x_0 \approx 0.905$.
Так как $f(x)$ имеет максимум, а $g(x)$ монотонно возрастает, уравнение имеет не более двух корней. Подбором:
При $x = 0$: $f(0) = 15$, $g(0) = 8$ $\Rightarrow$ $f > g$.
При $x = 1$: $f(1) = 31$, $g(1) = 34$ $\Rightarrow$ $f < g$.
Значит, корень $x_0$ лежит в интервале $(0, 1)$.
Уточним: $f(0.9) \approx 29.49$, $g(0.9) \approx 29.344$ $\Rightarrow$ $f > g$.
$f(0.91) \approx 29.642$, $g(0.91) \approx 29.784$ $\Rightarrow$ $f < g$.
Следовательно, $x_0 \approx 0.905$.
Шаг 6
Решение неравенства.
Поскольку $g(x)$ возрастает, а $f(x)$ при $x < 8.5$ возрастает до максимума, но $g(x)$ растёт быстрее, неравенство $f(x) \ge g(x)$ выполняется при $x \le x_0$.
Поскольку $g(x)$ возрастает, а $f(x)$ при $x < 8.5$ возрастает до максимума, но $g(x)$ растёт быстрее, неравенство $f(x) \ge g(x)$ выполняется при $x \le x_0$.
Окончательный ответ:
$(-\infty, 0.905]$