Шаг 1
Упростим уравнение.
Исходное уравнение: $\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 2\sin^2 x = \sin x + 2$.
Преобразуем: $\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \left( \sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sin x + \cos x$.
Исходное уравнение: $\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 2\sin^2 x = \sin x + 2$.
Преобразуем: $\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \left( \sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sin x + \cos x$.
Результат:
Уравнение принимает вид $\sin x + \cos x + 2\sin^2 x = \sin x + 2$.
Шаг 2
Упростим дальше.
Вычтем $\sin x$: $\cos x + 2\sin^2 x = 2$.
Используем $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $\cos x + 2(1 - \cos^2 x) = 2$.
Вычтем $\sin x$: $\cos x + 2\sin^2 x = 2$.
Используем $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $\cos x + 2(1 - \cos^2 x) = 2$.
Результат:
$\cos x + 2 - 2\cos^2 x = 2$.
Шаг 3
Приведем к квадратному уравнению.
Вычтем 2: $\cos x - 2\cos^2 x = 0$.
Вынесем $\cos x$: $\cos x (1 - 2\cos x) = 0$.
Вычтем 2: $\cos x - 2\cos^2 x = 0$.
Вынесем $\cos x$: $\cos x (1 - 2\cos x) = 0$.
Результат:
$\cos x = 0$ или $\cos x = \frac{1}{2}$.
Шаг 4
Решим $\cos x = 0$.
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Шаг 5
Решим $\cos x = \frac{1}{2}$.
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Результат:
Общее решение: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 6
Отберем корни на отрезке $\left[ 2\pi, \frac{7\pi}{2} \right]$.
Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$: $2\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi n \leq \frac{7\pi}{2}$.
Умножим на 2: $4\pi \leq \pi + 2\pi n \leq 7\pi$.
Вычтем $\pi$: $3\pi \leq 2\pi n \leq 6\pi$.
Разделим на $2\pi$: $1.5 \leq n \leq 3$. Целые $n$: 2, 3.
При $n=2$: $x = \frac{5\pi}{2}$. При $n=3$: $x = \frac{7\pi}{2}$.
Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$: $2\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi n \leq \frac{7\pi}{2}$.
Умножим на 2: $4\pi \leq \pi + 2\pi n \leq 7\pi$.
Вычтем $\pi$: $3\pi \leq 2\pi n \leq 6\pi$.
Разделим на $2\pi$: $1.5 \leq n \leq 3$. Целые $n$: 2, 3.
При $n=2$: $x = \frac{5\pi}{2}$. При $n=3$: $x = \frac{7\pi}{2}$.
Результат:
Корни из первой серии: $\frac{5\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{2}$.
Шаг 7
Для $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$: $2\pi \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi k \leq \frac{7\pi}{2}$.
Умножим на 6: $12\pi \leq 2\pi + 12\pi k \leq 21\pi$.
Вычтем $2\pi$: $10\pi \leq 12\pi k \leq 19\pi$.
Разделим на $\pi$: $10 \leq 12k \leq 19$.
Целое $k$: $k = 1$. Тогда $x = \frac{7\pi}{3}$.
Умножим на 6: $12\pi \leq 2\pi + 12\pi k \leq 21\pi$.
Вычтем $2\pi$: $10\pi \leq 12\pi k \leq 19\pi$.
Разделим на $\pi$: $10 \leq 12k \leq 19$.
Целое $k$: $k = 1$. Тогда $x = \frac{7\pi}{3}$.
Результат:
Корень $\frac{7\pi}{3}$.
Шаг 8
Для $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$: $2\pi \leq -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \leq \frac{7\pi}{2}$.
Умножим на 6: $12\pi \leq -2\pi + 12\pi k \leq 21\pi$.
Прибавим $2\pi$: $14\pi \leq 12\pi k \leq 23\pi$.
Разделим на $\pi$: $14 \leq 12k \leq 23$.
Целое $k$: $k = 2$ даёт $x = \frac{11\pi}{3} > \frac{7\pi}{2}$, не входит; $k = 1$ даёт $x = \frac{5\pi}{3} < 2\pi$, не входит.
Окончательный ответ для части а): $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $n, k \in \mathbb{Z}$.
Окончательный ответ для части б): $\frac{7\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{2}$.
Умножим на 6: $12\pi \leq -2\pi + 12\pi k \leq 21\pi$.
Прибавим $2\pi$: $14\pi \leq 12\pi k \leq 23\pi$.
Разделим на $\pi$: $14 \leq 12k \leq 23$.
Целое $k$: $k = 2$ даёт $x = \frac{11\pi}{3} > \frac{7\pi}{2}$, не входит; $k = 1$ даёт $x = \frac{5\pi}{3} < 2\pi$, не входит.
Результат:
Корней из этой серии на отрезке нет.
Окончательный ответ для части а): $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $n, k \in \mathbb{Z}$.
Окончательный ответ для части б): $\frac{7\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{2}$.