Шаг 1
Упростим уравнение, используя тригонометрические формулы.
Исходное уравнение:
$1 - \cos 2x + \sqrt{3} \sin x = \sqrt{3} - 2 \sin(x - \pi)$
Используем:
$\cos 2x = 1 - 2\sin^{2} x$
$\sin(x - \pi) = \sin x \cos \pi - \cos x \sin \pi = \sin x \cdot (-1) = -\sin x$
Подставляем:
$1 - (1 - 2\sin^{2} x) + \sqrt{3} \sin x = \sqrt{3} - 2(-\sin x)$
$2\sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x = \sqrt{3} + 2\sin x$
Исходное уравнение:
$1 - \cos 2x + \sqrt{3} \sin x = \sqrt{3} - 2 \sin(x - \pi)$
Используем:
$\cos 2x = 1 - 2\sin^{2} x$
$\sin(x - \pi) = \sin x \cos \pi - \cos x \sin \pi = \sin x \cdot (-1) = -\sin x$
Подставляем:
$1 - (1 - 2\sin^{2} x) + \sqrt{3} \sin x = \sqrt{3} - 2(-\sin x)$
$2\sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x = \sqrt{3} + 2\sin x$
Результат:
уравнение упрощено до $2\sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x - 2\sin x - \sqrt{3} = 0$.
Шаг 2
Приведём подобные и разложим на множители.
$2\sin^{2} x + (\sqrt{3} - 2)\sin x - \sqrt{3} = 0$
Это квадратное уравнение относительно $t = \sin x$:
$2t^{2} + (\sqrt{3} - 2)t - \sqrt{3} = 0$
Дискриминант:
$D = (\sqrt{3} - 2)^{2} + 8\sqrt{3} = 3 - 4\sqrt{3} + 4 + 8\sqrt{3} = 7 + 4\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^{2}$
Корни:
$t = \frac{-\sqrt{3} + 2 \pm (2 + \sqrt{3})}{4}$
1) $t_1 = \frac{-\sqrt{3} + 2 + 2 + \sqrt{3}}{4} = 1$
2) $t_2 = \frac{-\sqrt{3} + 2 - 2 - \sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$2\sin^{2} x + (\sqrt{3} - 2)\sin x - \sqrt{3} = 0$
Это квадратное уравнение относительно $t = \sin x$:
$2t^{2} + (\sqrt{3} - 2)t - \sqrt{3} = 0$
Дискриминант:
$D = (\sqrt{3} - 2)^{2} + 8\sqrt{3} = 3 - 4\sqrt{3} + 4 + 8\sqrt{3} = 7 + 4\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^{2}$
Корни:
$t = \frac{-\sqrt{3} + 2 \pm (2 + \sqrt{3})}{4}$
1) $t_1 = \frac{-\sqrt{3} + 2 + 2 + \sqrt{3}}{4} = 1$
2) $t_2 = \frac{-\sqrt{3} + 2 - 2 - \sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Результат:
$\sin x = 1$ или $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Шаг 3
Решаем каждое уравнение.
1) $\sin x = 1$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
2) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$x = (-1)^{k} \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
Можно записать как:
$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$ или $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$
$x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.
б) Корни на отрезке $\left[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}\right]$
Отрезок: $\left[-5\pi, -\frac{7\pi}{2}\right]$.
1) Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$:
$-5\pi \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n \le -\frac{7\pi}{2}$
Умножим на $\frac{2}{\pi}$: $-10 \le 1 + 4n \le -7$
Отсюда $n \ge -2.75$ и $n \le -2$, значит $n = -2$.
$x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$
2) Для $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$:
$-5\pi \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi m \le -\frac{7\pi}{2}$
Умножим на $\frac{6}{\pi}$: $-30 \le -2 + 12m \le -21$
Отсюда $m \ge -\frac{7}{3}$ и $m \le -\frac{19}{12}$, значит $m = -2$.
$x = -\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{13\pi}{3}$
3) Для $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m$:
$-5\pi \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi m \le -\frac{7\pi}{2}$
Умножим на $\frac{6}{\pi}$: $-30 \le 8 + 12m \le -21$
Отсюда $m \ge -\frac{19}{6}$ и $m \le -\frac{29}{12}$, значит $m = -3$.
$x = \frac{4\pi}{3} - 6\pi = -\frac{14\pi}{3}$
1) $\sin x = 1$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
2) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$x = (-1)^{k} \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
Можно записать как:
$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$ или $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$
Результат:
общее решение уравнения:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$
$x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.
б) Корни на отрезке $\left[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}\right]$
Отрезок: $\left[-5\pi, -\frac{7\pi}{2}\right]$.
1) Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$:
$-5\pi \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n \le -\frac{7\pi}{2}$
Умножим на $\frac{2}{\pi}$: $-10 \le 1 + 4n \le -7$
Отсюда $n \ge -2.75$ и $n \le -2$, значит $n = -2$.
$x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$
2) Для $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$:
$-5\pi \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi m \le -\frac{7\pi}{2}$
Умножим на $\frac{6}{\pi}$: $-30 \le -2 + 12m \le -21$
Отсюда $m \ge -\frac{7}{3}$ и $m \le -\frac{19}{12}$, значит $m = -2$.
$x = -\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{13\pi}{3}$
3) Для $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m$:
$-5\pi \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi m \le -\frac{7\pi}{2}$
Умножим на $\frac{6}{\pi}$: $-30 \le 8 + 12m \le -21$
Отсюда $m \ge -\frac{19}{6}$ и $m \le -\frac{29}{12}$, значит $m = -3$.
$x = \frac{4\pi}{3} - 6\pi = -\frac{14\pi}{3}$
Окончательный ответ: