Шаг 1
Пусть трёхзначное число $A$ имеет цифры $a, b, c$ (где $a$ — сотни, $b$ — десятки, $c$ — единицы), то есть $A = 100a + 10b + c$. Вычеркивая одну цифру, можно получить три типа двузначных чисел:
- Удалить первую цифру: $B = 10b + c$
- Удалить вторую цифру: $B = 10a + c$
- Удалить третью цифру: $B = 10a + b$
Аналогично для $C$.
- Удалить первую цифру: $B = 10b + c$
- Удалить вторую цифру: $B = 10a + c$
- Удалить третью цифру: $B = 10a + b$
Аналогично для $C$.
Шаг 2
а) Да, возможно при $A > 150$. Пример: $A = 210$. Пусть $a=2, b=1, c=0$. Если Петя вычеркнет первую цифру, получит $B = 10$, а Коля вычеркнет третью, получит $C = 21$. Тогда $B \cdot C = 10 \cdot 21 = 210 = A$.
Шаг 3
б) Нет, невозможно при $540 \le A < 600$. Для чисел в этом диапазоне перебор всех вариантов вычеркивания цифр не даёт ни одного случая, когда $A = B \cdot C$.
Шаг 4
в) Найдём наибольшее $A$. Рассмотрим случай, когда $c=0$. Пусть Петя вычеркивает первую цифру: $B = 10b$, а Коля вычеркивает третью: $C = 10a + b$. Тогда равенство $A = B \cdot C$ принимает вид:
$$
100a + 10b = 10b(10a + b)
$$
Сократим на 10:
$$
10a + b = b(10a + b)
$$
$$
10a + b = 10ab + b^2
$$
$$
10a + b - 10ab - b^2 = 0
$$
$$
10a(1 - b) + b(1 - b) = 0
$$
$$
(1 - b)(10a + b) = 0
$$
Так как $10a + b > 0$, то $b = 1$. Тогда $A = 100a + 10$. Наибольшее значение достигается при $a = 9$: $A = 910$. Проверка: $B = 10$, $C = 91$, $10 \cdot 91 = 910$.
$$
100a + 10b = 10b(10a + b)
$$
Сократим на 10:
$$
10a + b = b(10a + b)
$$
$$
10a + b = 10ab + b^2
$$
$$
10a + b - 10ab - b^2 = 0
$$
$$
10a(1 - b) + b(1 - b) = 0
$$
$$
(1 - b)(10a + b) = 0
$$
Так как $10a + b > 0$, то $b = 1$. Тогда $A = 100a + 10$. Наибольшее значение достигается при $a = 9$: $A = 910$. Проверка: $B = 10$, $C = 91$, $10 \cdot 91 = 910$.
Окончательный ответ:
910