Шаг 1
Обозначим $ t = \cos x $. Уравнение принимает вид:
$ 2t^3 + \sqrt{3} t^2 + 2t + \sqrt{3} = 0 $.
$ 2t^3 + \sqrt{3} t^2 + 2t + \sqrt{3} = 0 $.
Шаг 2
Сгруппируем и разложим на множители:
$ (2t^3 + 2t) + (\sqrt{3} t^2 + \sqrt{3}) = 0 \Rightarrow 2t(t^2 + 1) + \sqrt{3}(t^2 + 1) = 0 \Rightarrow (t^2 + 1)(2t + \sqrt{3}) = 0 $.
$ (2t^3 + 2t) + (\sqrt{3} t^2 + \sqrt{3}) = 0 \Rightarrow 2t(t^2 + 1) + \sqrt{3}(t^2 + 1) = 0 \Rightarrow (t^2 + 1)(2t + \sqrt{3}) = 0 $.
Шаг 3
Так как $ t^2 + 1 > 0 $ для всех $ t $, получаем $ 2t + \sqrt{3} = 0 $, откуда $ t = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Значит, $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Шаг 4
Общее решение уравнения:
$ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} $.
$ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} $.
Шаг 5
Найдём корни на отрезке $ \left[ -2\pi; -\frac{\pi}{2} \right] $.
При $ k = -1 $:
$ x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} $,
$ x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6} $ (не входит в отрезок, так как $ -\frac{17\pi}{6} < -2\pi $).
При $ k = -1 $ для второй серии:
$ x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} $,
$ x = -\frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{19\pi}{6} $ (не входит в отрезок).
При $ k = -1 $:
$ x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} $,
$ x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6} $ (не входит в отрезок, так как $ -\frac{17\pi}{6} < -2\pi $).
При $ k = -1 $ для второй серии:
$ x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} $,
$ x = -\frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{19\pi}{6} $ (не входит в отрезок).
Окончательный ответ:
\( x = -\frac{7\pi}{6} \) и \( x = -\frac{5\pi}{6} \).