Шаг 1
Подстановка. Из $x + y = a$ получаем $y = a - x$. Подставляем в $|y| = |x^2 - 2x|$: $|a - x| = |x^2 - 2x|$.
Шаг 2
Раскрытие модулей. Уравнение $|A| = |B|$ равносильно $A = B$ или $A = -B$. Получаем совокупность:
1) $a - x = x^2 - 2x$ $\Rightarrow$ $x^2 - x - a = 0$.
2) $a - x = -(x^2 - 2x)$ $\Rightarrow$ $x^2 - 3x + a = 0$.
1) $a - x = x^2 - 2x$ $\Rightarrow$ $x^2 - x - a = 0$.
2) $a - x = -(x^2 - 2x)$ $\Rightarrow$ $x^2 - 3x + a = 0$.
Шаг 3
Дискриминанты. Для $f_1(x) = x^2 - x - a$: $D_1 = 1 + 4a$. Для $f_2(x) = x^2 - 3x + a$: $D_2 = 9 - 4a$.
Шаг 4
Общие корни. Если $x$ — корень обоих уравнений, то вычитание даёт $2x - 2a = 0$, откуда $x = a$. Подстановка в $f_1$: $a^2 - 2a = 0$, значит $a = 0$ или $a = 2$. При этих $a$ есть общий корень $x = a$.
Шаг 5
Условие на количество различных корней. Обозначим $n_1$ — число корней $f_1$, $n_2$ — число корней $f_2$, $n_{12}$ — число общих корней. Общее число различных $x$: $n = n_1 + n_2 - n_{12}$. Нужно $n = 2$.
Шаг 6
Анализ случаев.
- $D_1 > 0$ при $a > -\frac{1}{4}$ (два корня), $D_1 = 0$ при $a = -\frac{1}{4}$ (один корень), $D_1 < 0$ при $a < -\frac{1}{4}$ (нет корней).
- $D_2 > 0$ при $a < \frac{9}{4}$ (два корня), $D_2 = 0$ при $a = \frac{9}{4}$ (один корень), $D_2 < 0$ при $a > \frac{9}{4}$ (нет корней).
Рассмотрим комбинации, дающие $n = 2$:
1) $n_1 = 2$, $n_2 = 0$: $a > -\frac{1}{4}$ и $a > \frac{9}{4}$, т.е. $a > \frac{9}{4}$. Общих корней нет (так как $a = 0, 2$ не входят). Подходит.
2) $n_1 = 0$, $n_2 = 2$: $a < -\frac{1}{4}$ и $a < \frac{9}{4}$, т.е. $a < -\frac{1}{4}$. Общих корней нет. Подходит.
3) Другие комбинации либо дают $n \neq 2$, либо невозможны.
- $D_1 > 0$ при $a > -\frac{1}{4}$ (два корня), $D_1 = 0$ при $a = -\frac{1}{4}$ (один корень), $D_1 < 0$ при $a < -\frac{1}{4}$ (нет корней).
- $D_2 > 0$ при $a < \frac{9}{4}$ (два корня), $D_2 = 0$ при $a = \frac{9}{4}$ (один корень), $D_2 < 0$ при $a > \frac{9}{4}$ (нет корней).
Рассмотрим комбинации, дающие $n = 2$:
1) $n_1 = 2$, $n_2 = 0$: $a > -\frac{1}{4}$ и $a > \frac{9}{4}$, т.е. $a > \frac{9}{4}$. Общих корней нет (так как $a = 0, 2$ не входят). Подходит.
2) $n_1 = 0$, $n_2 = 2$: $a < -\frac{1}{4}$ и $a < \frac{9}{4}$, т.е. $a < -\frac{1}{4}$. Общих корней нет. Подходит.
3) Другие комбинации либо дают $n \neq 2$, либо невозможны.
Шаг 7
Проверка граничных и особых значений.
- $a = -\frac{1}{4}$: $n_1 = 1$, $n_2 = 2$, $n = 3$ — не подходит.
- $a = \frac{9}{4}$: $n_1 = 2$, $n_2 = 1$, $n = 3$ — не подходит.
- $a = 0$: $n_1 = 2$, $n_2 = 2$, общий корень $x = 0$, $n = 3$ — не подходит.
- $a = 2$: $n_1 = 2$, $n_2 = 2$, общий корень $x = 2$, $n = 3$ — не подходит.
- $a = -\frac{1}{4}$: $n_1 = 1$, $n_2 = 2$, $n = 3$ — не подходит.
- $a = \frac{9}{4}$: $n_1 = 2$, $n_2 = 1$, $n = 3$ — не подходит.
- $a = 0$: $n_1 = 2$, $n_2 = 2$, общий корень $x = 0$, $n = 3$ — не подходит.
- $a = 2$: $n_1 = 2$, $n_2 = 2$, общий корень $x = 2$, $n = 3$ — не подходит.
Окончательный ответ:
$a \in \left(-\infty, -\frac{1}{4}\right) \cup \left(\frac{9}{4}, +\infty\right)$.