Шаг 1
Найдём ОДЗ.
Аргументы логарифмов должны быть положительны.
1) $x^{3} - 3x^{2} - 9x + 27 > 0$.
Разложим: $x^{2}(x-3) - 9(x-3) = (x-3)(x^{2} - 9) = (x-3)^{2}(x+3) > 0$.
Это выполняется при $x+3 > 0$ и $x \neq 3$, то есть $x > -3$, $x \neq 3$.
2) $(x-3)^{4} > 0$ выполняется при всех $x \neq 3$.
Аргументы логарифмов должны быть положительны.
1) $x^{3} - 3x^{2} - 9x + 27 > 0$.
Разложим: $x^{2}(x-3) - 9(x-3) = (x-3)(x^{2} - 9) = (x-3)^{2}(x+3) > 0$.
Это выполняется при $x+3 > 0$ и $x \neq 3$, то есть $x > -3$, $x \neq 3$.
2) $(x-3)^{4} > 0$ выполняется при всех $x \neq 3$.
Результат:
ОДЗ: $x \in (-3, 3) \cup (3, +\infty)$.
Шаг 2
Упростим неравенство.
$\log_{0.25} (x-3)^{4} = \frac{\log_{0.5} (x-3)^{4}}{\log_{0.5} 0.25} = \frac{\log_{0.5} (x-3)^{4}}{2}$, так как $0.25 = (0.5)^{2}$.
$\log_{0.5} (x-3)^{4} = 4 \log_{0.5} |x-3|$.
Тогда правая часть: $\frac{4 \log_{0.5} |x-3|}{2} = 2 \log_{0.5} |x-3|$.
Исходное неравенство: $\log_{0.5} \left( (x-3)^{2}(x+3) \right) \leq 2 \log_{0.5} |x-3|$.
$\log_{0.25} (x-3)^{4} = \frac{\log_{0.5} (x-3)^{4}}{\log_{0.5} 0.25} = \frac{\log_{0.5} (x-3)^{4}}{2}$, так как $0.25 = (0.5)^{2}$.
$\log_{0.5} (x-3)^{4} = 4 \log_{0.5} |x-3|$.
Тогда правая часть: $\frac{4 \log_{0.5} |x-3|}{2} = 2 \log_{0.5} |x-3|$.
Исходное неравенство: $\log_{0.5} \left( (x-3)^{2}(x+3) \right) \leq 2 \log_{0.5} |x-3|$.
Шаг 3
Перенесём всё в одну часть и используем свойства логарифмов.
$2 \log_{0.5} |x-3| = \log_{0.5} (x-3)^{2}$.
Получаем: $\log_{0.5} \left( (x-3)^{2}(x+3) \right) - \log_{0.5} (x-3)^{2} \leq 0$.
$\log_{0.5} \frac{(x-3)^{2}(x+3)}{(x-3)^{2}} \leq 0$, при $x \neq 3$ сокращаем.
$2 \log_{0.5} |x-3| = \log_{0.5} (x-3)^{2}$.
Получаем: $\log_{0.5} \left( (x-3)^{2}(x+3) \right) - \log_{0.5} (x-3)^{2} \leq 0$.
$\log_{0.5} \frac{(x-3)^{2}(x+3)}{(x-3)^{2}} \leq 0$, при $x \neq 3$ сокращаем.
Результат:
$\log_{0.5} (x+3) \leq 0$.
Шаг 4
Решаем упрощённое неравенство.
Основание $0.5 \in (0,1)$, поэтому знак меняется:
$\log_{0.5} (x+3) \leq 0 \Rightarrow x+3 \geq (0.5)^{0} = 1$.
$x+3 \geq 1 \Rightarrow x \geq -2$.
Учитываем ОДЗ: $x > -3$, $x \neq 3$ и $x \geq -2$.
Основание $0.5 \in (0,1)$, поэтому знак меняется:
$\log_{0.5} (x+3) \leq 0 \Rightarrow x+3 \geq (0.5)^{0} = 1$.
$x+3 \geq 1 \Rightarrow x \geq -2$.
Учитываем ОДЗ: $x > -3$, $x \neq 3$ и $x \geq -2$.
Результат:
$x \in [-2, 3) \cup (3, +\infty)$.
Окончательный ответ:
$[-2, 3) \cup (3, +\infty)$