а) Доказательство отношения на ребре $CD$
Шаг 1: Введём векторы $\vec{AB}=\vec{b}$, $\vec{AC}=\vec{c}$, $\vec{AD}=\vec{d}$. В правильном тетраэдре $|\vec{b}|=|\vec{c}|=|\vec{d}|=6$, $\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{d}=\vec{d}\cdot\vec{b}=18$.
Шаг 2: Координаты точек относительно $A$:
- $L$ на $BC$: $\vec{OL} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$.
- $M$ на $AB$: $\vec{OM} = \frac{1}{3}\vec{b}$.
- $N$ на $AD$: $\vec{ON} = \frac{1}{3}\vec{d}$.
Шаг 3: Уравнение плоскости $(LMN)$: $\vec{r} = \vec{OL} + u(\vec{OM}-\vec{OL}) + v(\vec{ON}-\vec{OL})$.
Вычисляем:
$\vec{OM}-\vec{OL} = -\frac{1}{3}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c}$,
$\vec{ON}-\vec{OL} = -\frac{2}{3}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c} + \frac{1}{3}\vec{d}$.
Шаг 4: Точка $P$ на $CD$: $P = \vec{c} + t(\vec{d}-\vec{c})$.
Подставляем в уравнение плоскости:
$\vec{c} + t(\vec{d}-\vec{c}) = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} + u\left(-\frac{1}{3}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c}\right) + v\left(-\frac{2}{3}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c} + \frac{1}{3}\vec{d}\right)$.
Шаг 5: Приравниваем коэффициенты при $\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ (они линейно независимы).
При $\vec{b}$: $0 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}u - \frac{2}{3}v \Rightarrow 2 - u - 2v = 0$ … (1)
При $\vec{c}$: $1 - t = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}u - \frac{1}{3}v \Rightarrow 2 - 3t + u + v = 0$ … (2)
При $\vec{d}$: $t = \frac{1}{3}v \Rightarrow t = \frac{v}{3}$ … (3)
Шаг 6: Решаем систему. Из (3): $v=3t$. Из (1): $u = 2 - 6t$. Подставляем в (2):
$2 - 3t + (2 - 6t) + 3t = 0 \Rightarrow 4 - 6t = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{3}$.
Шаг 7: $t=\frac{2}{3}$ означает $CP:PD = t:(1-t) = 2:1$, считая от $C$.
Шаг 2: Координаты точек относительно $A$:
- $L$ на $BC$: $\vec{OL} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$.
- $M$ на $AB$: $\vec{OM} = \frac{1}{3}\vec{b}$.
- $N$ на $AD$: $\vec{ON} = \frac{1}{3}\vec{d}$.
Шаг 3: Уравнение плоскости $(LMN)$: $\vec{r} = \vec{OL} + u(\vec{OM}-\vec{OL}) + v(\vec{ON}-\vec{OL})$.
Вычисляем:
$\vec{OM}-\vec{OL} = -\frac{1}{3}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c}$,
$\vec{ON}-\vec{OL} = -\frac{2}{3}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c} + \frac{1}{3}\vec{d}$.
Шаг 4: Точка $P$ на $CD$: $P = \vec{c} + t(\vec{d}-\vec{c})$.
Подставляем в уравнение плоскости:
$\vec{c} + t(\vec{d}-\vec{c}) = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} + u\left(-\frac{1}{3}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c}\right) + v\left(-\frac{2}{3}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c} + \frac{1}{3}\vec{d}\right)$.
Шаг 5: Приравниваем коэффициенты при $\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ (они линейно независимы).
При $\vec{b}$: $0 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}u - \frac{2}{3}v \Rightarrow 2 - u - 2v = 0$ … (1)
При $\vec{c}$: $1 - t = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}u - \frac{1}{3}v \Rightarrow 2 - 3t + u + v = 0$ … (2)
При $\vec{d}$: $t = \frac{1}{3}v \Rightarrow t = \frac{v}{3}$ … (3)
Шаг 6: Решаем систему. Из (3): $v=3t$. Из (1): $u = 2 - 6t$. Подставляем в (2):
$2 - 3t + (2 - 6t) + 3t = 0 \Rightarrow 4 - 6t = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{3}$.
Шаг 7: $t=\frac{2}{3}$ означает $CP:PD = t:(1-t) = 2:1$, считая от $C$.
Результат:
$CP:PD=2:1$.
б) Площадь сечения
Шаг 1: Выберем координаты. Поместим $A(0,0,0)$, $B(6,0,0)$, $C(3,3\sqrt{3},0)$. Тогда центр треугольника $ABC$ — $O_C=(3,\sqrt{3},0)$, высота тетраэдра $h=2\sqrt{6}$, поэтому $D=(3,\sqrt{3},2\sqrt{6})$.
Шаг 2: Координаты точек:
- $L$ на $BC$: $L = \frac{2B + C}{3} = (5,\sqrt{3},0)$.
- $M$ на $AB$: $M = \frac{B + 2A}{3} = (2,0,0)$.
- $N$ на $AD$: $N = \frac{D + 2A}{3} = \left(1,\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$.
- $P$ на $CD$: $P = \frac{C + 2D}{3} = \left(3,\frac{5\sqrt{3}}{3},\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)$.
Шаг 3: Сечение — четырёхугольник $LMNP$. Разобьём его диагональю $LN$ на треугольники $LMN$ и $LNP$.
Шаг 4: Площадь треугольника $LMN$.
Векторы: $\vec{LM}=(-3,-\sqrt{3},0)$, $\vec{LN}=\left(-4,-\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$.
Векторное произведение: $\vec{LM}\times\vec{LN}=(-2\sqrt{2}, -2\sqrt{6}, -2\sqrt{3})$.
Модуль: $\sqrt{8+24+12}=2\sqrt{11}$.
Площадь: $S_{LMN}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{11}=\sqrt{11}$.
Шаг 5: Площадь треугольника $LNP$.
Векторы: $\vec{LN}=\left(-4,-\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$, $\vec{LP}=\left(-2,\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)$.
Векторное произведение: $\vec{LN}\times\vec{LP}=(-4\sqrt{2}, 4\sqrt{6}, -4\sqrt{3})$.
Модуль: $\sqrt{32+96+48}=4\sqrt{11}$.
Площадь: $S_{LNP}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{11}=2\sqrt{11}$.
Шаг 6: Площадь сечения $S = S_{LMN}+S_{LNP} = \sqrt{11}+2\sqrt{11}=3\sqrt{11}$.
Шаг 2: Координаты точек:
- $L$ на $BC$: $L = \frac{2B + C}{3} = (5,\sqrt{3},0)$.
- $M$ на $AB$: $M = \frac{B + 2A}{3} = (2,0,0)$.
- $N$ на $AD$: $N = \frac{D + 2A}{3} = \left(1,\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$.
- $P$ на $CD$: $P = \frac{C + 2D}{3} = \left(3,\frac{5\sqrt{3}}{3},\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)$.
Шаг 3: Сечение — четырёхугольник $LMNP$. Разобьём его диагональю $LN$ на треугольники $LMN$ и $LNP$.
Шаг 4: Площадь треугольника $LMN$.
Векторы: $\vec{LM}=(-3,-\sqrt{3},0)$, $\vec{LN}=\left(-4,-\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$.
Векторное произведение: $\vec{LM}\times\vec{LN}=(-2\sqrt{2}, -2\sqrt{6}, -2\sqrt{3})$.
Модуль: $\sqrt{8+24+12}=2\sqrt{11}$.
Площадь: $S_{LMN}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{11}=\sqrt{11}$.
Шаг 5: Площадь треугольника $LNP$.
Векторы: $\vec{LN}=\left(-4,-\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$, $\vec{LP}=\left(-2,\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)$.
Векторное произведение: $\vec{LN}\times\vec{LP}=(-4\sqrt{2}, 4\sqrt{6}, -4\sqrt{3})$.
Модуль: $\sqrt{32+96+48}=4\sqrt{11}$.
Площадь: $S_{LNP}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{11}=2\sqrt{11}$.
Шаг 6: Площадь сечения $S = S_{LMN}+S_{LNP} = \sqrt{11}+2\sqrt{11}=3\sqrt{11}$.
Окончательный ответ:
$3\sqrt{11}$.