Шаг 1
Анализ первого неравенства $ax \ge 2$ на $x \in [3;4]$.
При $a > 0$: $x \ge \frac{2}{a}$. Чтобы существовало $x \in [3;4]$, нужно $\frac{2}{a} \le 4 \Rightarrow a \ge 0.5$.
При $a = 0$: $0 \ge 2$ — ложно.
При $a < 0$: $x \le \frac{2}{a} < 0$, но $x \ge 3$, решений нет.
При $a > 0$: $x \ge \frac{2}{a}$. Чтобы существовало $x \in [3;4]$, нужно $\frac{2}{a} \le 4 \Rightarrow a \ge 0.5$.
При $a = 0$: $0 \ge 2$ — ложно.
При $a < 0$: $x \le \frac{2}{a} < 0$, но $x \ge 3$, решений нет.
Результат:
$a \ge 0.5$.
Шаг 2
Анализ второго неравенства $\sqrt{x-1} > a$.
Так как $a \ge 0.5 > 0$, неравенство равносильно $x > a^2 + 1$. Чтобы существовало $x \in [3;4]$, нужно $a^2 + 1 < 4 \Rightarrow a^2 < 3 \Rightarrow a < \sqrt{3}$.
Так как $a \ge 0.5 > 0$, неравенство равносильно $x > a^2 + 1$. Чтобы существовало $x \in [3;4]$, нужно $a^2 + 1 < 4 \Rightarrow a^2 < 3 \Rightarrow a < \sqrt{3}$.
Результат:
$a < \sqrt{3}$ (учитывая $a \ge 0.5$).
Шаг 3
Анализ третьего неравенства $3x \le 2a + 11$.
Перепишем как $x \le \frac{2a+11}{3}$. Чтобы существовало $x \in [3;4]$, нужно $\frac{2a+11}{3} \ge 3 \Rightarrow a \ge -1$, что уже следует из $a \ge 0.5$.
Перепишем как $x \le \frac{2a+11}{3}$. Чтобы существовало $x \in [3;4]$, нужно $\frac{2a+11}{3} \ge 3 \Rightarrow a \ge -1$, что уже следует из $a \ge 0.5$.
Шаг 4
Совместный анализ всех трёх неравенств.
Для $a \in [0.5, \sqrt{3})$ нужно найти $x \in [3;4]$, удовлетворяющее:
$x \ge \frac{2}{a}$, $x > a^2 + 1$, $x \le \frac{2a+11}{3}$.
Рассмотрим $L(a) = \max\left(3, \frac{2}{a}, a^2+1\right)$.
Разобьём $[0.5, \sqrt{3})$ на интервалы:
1. $a \in \left[0.5, \frac{2}{3}\right]$: тогда $\frac{2}{a} \ge 3$ и $\frac{2}{a} \ge a^2+1$, поэтому $L(a) = \frac{2}{a}$.
Условие существования $x$: $\frac{2}{a} \le \frac{2a+11}{3}$. При $a=0.5$ равенство, при $a>0.5$ неравенство строгое, так как $2a^2+11a-6>0$. Выполнено на всём интервале.
2. $a \in \left(\frac{2}{3}, \sqrt{2}\right)$: тогда $\frac{2}{a} < 3$ и $a^2+1 < 3$, поэтому $L(a) = 3$.
При $x=3$: первое неравенство $3a \ge 2$ верно при $a \ge \frac{2}{3}$, второе $\sqrt{2} > a$ верно при $a < \sqrt{2}$, третье $9 \le 2a+11$ верно при $a \ge -1$. Значит, $x=3$ — решение.
3. $a \in \left[\sqrt{2}, \sqrt{3}\right)$: тогда $a^2+1 \ge 3$ и $a^2+1 \ge \frac{2}{a}$, поэтому $L(a) = a^2+1$.
Условия: $a^2+1 < 4$ (уже есть) и $a^2+1 \le \frac{2a+11}{3} \Rightarrow 3a^2 - 2a - 8 \le 0$, что верно при $a \le 2$, а значит, на всём интервале. Тогда можно взять $x=4$ (проверяется непосредственно).
Все границы проверены: $a=0.5$ даёт решение $x=4$, $a=\sqrt{3}$ не входит, так как второе неравенство невыполнимо.
Для $a \in [0.5, \sqrt{3})$ нужно найти $x \in [3;4]$, удовлетворяющее:
$x \ge \frac{2}{a}$, $x > a^2 + 1$, $x \le \frac{2a+11}{3}$.
Рассмотрим $L(a) = \max\left(3, \frac{2}{a}, a^2+1\right)$.
Разобьём $[0.5, \sqrt{3})$ на интервалы:
1. $a \in \left[0.5, \frac{2}{3}\right]$: тогда $\frac{2}{a} \ge 3$ и $\frac{2}{a} \ge a^2+1$, поэтому $L(a) = \frac{2}{a}$.
Условие существования $x$: $\frac{2}{a} \le \frac{2a+11}{3}$. При $a=0.5$ равенство, при $a>0.5$ неравенство строгое, так как $2a^2+11a-6>0$. Выполнено на всём интервале.
2. $a \in \left(\frac{2}{3}, \sqrt{2}\right)$: тогда $\frac{2}{a} < 3$ и $a^2+1 < 3$, поэтому $L(a) = 3$.
При $x=3$: первое неравенство $3a \ge 2$ верно при $a \ge \frac{2}{3}$, второе $\sqrt{2} > a$ верно при $a < \sqrt{2}$, третье $9 \le 2a+11$ верно при $a \ge -1$. Значит, $x=3$ — решение.
3. $a \in \left[\sqrt{2}, \sqrt{3}\right)$: тогда $a^2+1 \ge 3$ и $a^2+1 \ge \frac{2}{a}$, поэтому $L(a) = a^2+1$.
Условия: $a^2+1 < 4$ (уже есть) и $a^2+1 \le \frac{2a+11}{3} \Rightarrow 3a^2 - 2a - 8 \le 0$, что верно при $a \le 2$, а значит, на всём интервале. Тогда можно взять $x=4$ (проверяется непосредственно).
Все границы проверены: $a=0.5$ даёт решение $x=4$, $a=\sqrt{3}$ не входит, так как второе неравенство невыполнимо.
Окончательный ответ:
$\left[\frac{1}{2}, \sqrt{3}\right)$