Шаг 1
Введём обозначения.
Пусть сделано $ m $ ходов. Обозначим через $ n_i $ количество ходов, в которых коробка $ i $ была той, в которую клали камни (то есть получала $+3$ камня). Тогда за $ m $ ходов коробка $ i $ теряет $ m $ камней (так как в каждом ходе из неё берут камень, если она не является принимающей) и получает $ 3n_i $ камней (когда она является принимающей). Итоговое изменение: $ +3n_i - m $.
Так как в каждом ходе ровно одна коробка получает $+3$, а три другие теряют по $1$, сумма всех изменений равна $ 3m - 3m = 0 $, что согласуется с сохранением общего числа камней: $ 101+102+103+0 = 306 $.
Более удобная форма: изменение для коробки $ i $ можно записать как $ 4n_i - m $, потому что $ +3n_i - m = 4n_i - (n_i + m) $, но проще заметить, что если коробка получает $+3$ в $ n_i $ ходах, то в остальных $ m-n_i $ ходах она теряет по $1$, итого: $ 3n_i - (m-n_i) = 4n_i - m $.
Тогда количество камней в коробке $ i $ после всех ходов:
$ a_i = \text{начальное}_i + 4n_i - m $, где $ n_i $ — неотрицательные целые числа, $ m = n_1+n_2+n_3+n_4 $.
Пусть сделано $ m $ ходов. Обозначим через $ n_i $ количество ходов, в которых коробка $ i $ была той, в которую клали камни (то есть получала $+3$ камня). Тогда за $ m $ ходов коробка $ i $ теряет $ m $ камней (так как в каждом ходе из неё берут камень, если она не является принимающей) и получает $ 3n_i $ камней (когда она является принимающей). Итоговое изменение: $ +3n_i - m $.
Так как в каждом ходе ровно одна коробка получает $+3$, а три другие теряют по $1$, сумма всех изменений равна $ 3m - 3m = 0 $, что согласуется с сохранением общего числа камней: $ 101+102+103+0 = 306 $.
Более удобная форма: изменение для коробки $ i $ можно записать как $ 4n_i - m $, потому что $ +3n_i - m = 4n_i - (n_i + m) $, но проще заметить, что если коробка получает $+3$ в $ n_i $ ходах, то в остальных $ m-n_i $ ходах она теряет по $1$, итого: $ 3n_i - (m-n_i) = 4n_i - m $.
Тогда количество камней в коробке $ i $ после всех ходов:
$ a_i = \text{начальное}_i + 4n_i - m $, где $ n_i $ — неотрицательные целые числа, $ m = n_1+n_2+n_3+n_4 $.
Шаг 2
Рассмотрим случай (а).
Дано: $ a_1=97,\ a_2=102,\ a_3=103,\ a_4=4 $.
Подставляем в формулу:
$ 97 = 101 + 4n_1 - m $ $\Rightarrow$ $ 4n_1 - m = -4 $,
$ 102 = 102 + 4n_2 - m $ $\Rightarrow$ $ 4n_2 - m = 0 $,
$ 103 = 103 + 4n_3 - m $ $\Rightarrow$ $ 4n_3 - m = 0 $,
$ 4 = 0 + 4n_4 - m $ $\Rightarrow$ $ 4n_4 - m = 4 $.
Из второго и третьего уравнений: $ m = 4n_2 = 4n_3 $, значит $ n_2 = n_3 $.
Из первого: $ 4n_1 = m-4 $, из четвёртого: $ 4n_4 = m+4 $.
Положим $ m=4k $, тогда $ n_2=n_3=k $, $ n_1 = k-1 $, $ n_4 = k+1 $.
Все $ n_i $ целые неотрицательные при $ k \ge 1 $, например $ k=1 $: $ n_1=0,\ n_2=1,\ n_3=1,\ n_4=2 $, $ m=4 $.
Проверка: $ a_1 = 101+0-4=97 $, $ a_2=102+4-4=102 $, $ a_3=103+4-4=103 $, $ a_4=0+8-4=4 $.
Дано: $ a_1=97,\ a_2=102,\ a_3=103,\ a_4=4 $.
Подставляем в формулу:
$ 97 = 101 + 4n_1 - m $ $\Rightarrow$ $ 4n_1 - m = -4 $,
$ 102 = 102 + 4n_2 - m $ $\Rightarrow$ $ 4n_2 - m = 0 $,
$ 103 = 103 + 4n_3 - m $ $\Rightarrow$ $ 4n_3 - m = 0 $,
$ 4 = 0 + 4n_4 - m $ $\Rightarrow$ $ 4n_4 - m = 4 $.
Из второго и третьего уравнений: $ m = 4n_2 = 4n_3 $, значит $ n_2 = n_3 $.
Из первого: $ 4n_1 = m-4 $, из четвёртого: $ 4n_4 = m+4 $.
Положим $ m=4k $, тогда $ n_2=n_3=k $, $ n_1 = k-1 $, $ n_4 = k+1 $.
Все $ n_i $ целые неотрицательные при $ k \ge 1 $, например $ k=1 $: $ n_1=0,\ n_2=1,\ n_3=1,\ n_4=2 $, $ m=4 $.
Проверка: $ a_1 = 101+0-4=97 $, $ a_2=102+4-4=102 $, $ a_3=103+4-4=103 $, $ a_4=0+8-4=4 $.
Результат:
Такая ситуация возможна.
Шаг 3
Рассмотрим случай (б).
Пусть в четвёртой коробке оказалось 306 камней, а в остальных — 0.
Тогда:
$ 0 = 101 + 4n_1 - m $ $\Rightarrow$ $ m - 4n_1 = 101 $,
$ 0 = 102 + 4n_2 - m $ $\Rightarrow$ $ m - 4n_2 = 102 $,
$ 0 = 103 + 4n_3 - m $ $\Rightarrow$ $ m - 4n_3 = 103 $,
$ 306 = 0 + 4n_4 - m $ $\Rightarrow$ $ 4n_4 - m = 306 $.
Из первых трёх уравнений: $ m \equiv 1 \pmod{4} $ (из первого), $ m \equiv 2 \pmod{4} $ (из второго), $ m \equiv 3 \pmod{4} $ (из третьего). Эти три сравнения одновременно выполняться не могут, так как одно число $ m $ не может иметь три разных остатка при делении на 4.
Пусть в четвёртой коробке оказалось 306 камней, а в остальных — 0.
Тогда:
$ 0 = 101 + 4n_1 - m $ $\Rightarrow$ $ m - 4n_1 = 101 $,
$ 0 = 102 + 4n_2 - m $ $\Rightarrow$ $ m - 4n_2 = 102 $,
$ 0 = 103 + 4n_3 - m $ $\Rightarrow$ $ m - 4n_3 = 103 $,
$ 306 = 0 + 4n_4 - m $ $\Rightarrow$ $ 4n_4 - m = 306 $.
Из первых трёх уравнений: $ m \equiv 1 \pmod{4} $ (из первого), $ m \equiv 2 \pmod{4} $ (из второго), $ m \equiv 3 \pmod{4} $ (из третьего). Эти три сравнения одновременно выполняться не могут, так как одно число $ m $ не может иметь три разных остатка при делении на 4.
Результат:
Ситуация невозможна.
Шаг 4
Рассмотрим случай (в).
Нужно максимизировать $ a_1 = 101 + 4n_1 - m $, где $ m = n_1+n_2+n_3+n_4 $.
Перепишем: $ a_1 = 101 + 4n_1 - (n_1+n_2+n_3+n_4) = 101 + 3n_1 - (n_2+n_3+n_4) $.
Чтобы $ a_1 $ было максимальным, нужно сделать $ n_1 $ как можно больше, а $ n_2+n_3+n_4 $ как можно меньше.
Но $ n_2, n_3, n_4 $ не могут быть произвольно малы: в каждом ходе одна из коробок получает $+3$, поэтому сумма $ n_1+n_2+n_3+n_4 = m $ равна общему числу ходов. При этом начальные запасы камней в коробках 2 и 3 (102 и 103) ограничивают, сколько раз из них можно забирать камни: коробка $ i $ теряет камень в каждом ходе, где она не является принимающей, то есть в $ m-n_i $ ходах. Поскольку потери не могут превысить начальный запас, получаем условия:
$ m-n_2 \le 102 $ и $ m-n_3 \le 103 $ (для коробки 4 начальный запас 0, поэтому $ m-n_4 \le 0 $, то есть $ n_4 \ge m $, но это слишком сильное условие, которое не даст максимизировать $ a_1 $; значит, коробка 4 не должна быть пустой в начале ходов, но она пустая, поэтому если мы хотим максимизировать $ a_1 $, лучше всего "кормить" коробку 4, чтобы она не ограничивала раньше времени).
Удобнее рассуждать так: мы хотим максимизировать $ a_1 $, поэтому будем на каждом ходе класть камни в коробку 1 (увеличивая $ n_1 $) или в коробку 4 (чтобы не тратить камни из коробок 2 и 3). Если класть в коробку 4, то коробки 1,2,3 теряют по камню, но коробка 1 при этом не получает +3. Поэтому оптимальная стратегия: сначала увеличиваем $ n_1 $, пока это возможно, а когда дальнейшее увеличение $ n_1 $ невозможно из-за нехватки камней в коробках 2 или 3, начинаем класть камни в коробку 4, чтобы пополнить их запасы.
Пусть $ n_2 = n_3 = 0 $ (никогда не кладём камни в коробки 2 и 3). Тогда в каждом ходе коробки 2 и 3 теряют по 1 камню. Их начальные запасы: 102 и 103. Поэтому максимальное число ходов $ m $ при таком условии ограничено: $ m \le 102 $ (потому что коробка 2 иссякнет первой). Но если $ m $ ходов, и в некоторых из них мы кладём в коробку 4, то коробки 2 и 3 теряют по 1 в каждом ходе, поэтому условие: $ m \le 102 $.
При этом $ m = n_1 + n_4 $.
Коробка 1: $ a_1 = 101 + 4n_1 - m = 101 + 3n_1 - n_4 $.
Коробка 4: $ a_4 = 0 + 4n_4 - m = 3n_4 - n_1 $.
Коробка 2: $ a_2 = 102 + 0 - m = 102 - m \ge 0 $ $\Rightarrow$ $ m \le 102 $.
Коробка 3: $ a_3 = 103 - m \ge 0 $ $\Rightarrow$ $ m \le 103 $ (менее строго).
Чтобы максимизировать $ a_1 $, нужно максимизировать $ n_1 $ и минимизировать $ n_4 $, но при этом $ m = n_1+n_4 \le 102 $ и $ a_4 = 3n_4 - n_1 \ge 0 $ (так как в коробке 4 не может быть отрицательного числа камней). Из $ a_4 \ge 0 $ получаем $ 3n_4 \ge n_1 $.
Тогда $ m = n_1+n_4 \le n_1 + \frac{n_1}{3} = \frac{4}{3}n_1 $. С другой стороны, $ m \le 102 $.
Максимизируем $ n_1 $: из $ \frac{4}{3}n_1 \le 102 $ получаем $ n_1 \le 76.5 $, то есть $ n_1 \le 76 $.
Проверим выполнимость: возьмём $ n_1 = 76 $, тогда $ 3n_4 \ge 76 $ $\Rightarrow$ $ n_4 \ge 26 $ (минимальное целое). Тогда $ m = 76+26=102 $, что удовлетворяет $ m \le 102 $.
Проверим остальные коробки:
$ a_2 = 102 - 102 = 0 $,
$ a_3 = 103 - 102 = 1 $,
$ a_4 = 3\cdot 26 - 76 = 78-76=2 $,
$ a_1 = 101 + 4\cdot 76 - 102 = 101+304-102=303 $.
Все значения неотрицательны.
Можно ли увеличить $ n_1 $ до 77? Тогда минимальное $ n_4 = 26 $ (так как $ 3\cdot 26 = 78 \ge 77 $), тогда $ m = 103 $, но тогда $ a_2 = 102-103 = -1 < 0 $, невозможно.
Значит, максимум $ a_1 $ равен 303.
Нужно максимизировать $ a_1 = 101 + 4n_1 - m $, где $ m = n_1+n_2+n_3+n_4 $.
Перепишем: $ a_1 = 101 + 4n_1 - (n_1+n_2+n_3+n_4) = 101 + 3n_1 - (n_2+n_3+n_4) $.
Чтобы $ a_1 $ было максимальным, нужно сделать $ n_1 $ как можно больше, а $ n_2+n_3+n_4 $ как можно меньше.
Но $ n_2, n_3, n_4 $ не могут быть произвольно малы: в каждом ходе одна из коробок получает $+3$, поэтому сумма $ n_1+n_2+n_3+n_4 = m $ равна общему числу ходов. При этом начальные запасы камней в коробках 2 и 3 (102 и 103) ограничивают, сколько раз из них можно забирать камни: коробка $ i $ теряет камень в каждом ходе, где она не является принимающей, то есть в $ m-n_i $ ходах. Поскольку потери не могут превысить начальный запас, получаем условия:
$ m-n_2 \le 102 $ и $ m-n_3 \le 103 $ (для коробки 4 начальный запас 0, поэтому $ m-n_4 \le 0 $, то есть $ n_4 \ge m $, но это слишком сильное условие, которое не даст максимизировать $ a_1 $; значит, коробка 4 не должна быть пустой в начале ходов, но она пустая, поэтому если мы хотим максимизировать $ a_1 $, лучше всего "кормить" коробку 4, чтобы она не ограничивала раньше времени).
Удобнее рассуждать так: мы хотим максимизировать $ a_1 $, поэтому будем на каждом ходе класть камни в коробку 1 (увеличивая $ n_1 $) или в коробку 4 (чтобы не тратить камни из коробок 2 и 3). Если класть в коробку 4, то коробки 1,2,3 теряют по камню, но коробка 1 при этом не получает +3. Поэтому оптимальная стратегия: сначала увеличиваем $ n_1 $, пока это возможно, а когда дальнейшее увеличение $ n_1 $ невозможно из-за нехватки камней в коробках 2 или 3, начинаем класть камни в коробку 4, чтобы пополнить их запасы.
Пусть $ n_2 = n_3 = 0 $ (никогда не кладём камни в коробки 2 и 3). Тогда в каждом ходе коробки 2 и 3 теряют по 1 камню. Их начальные запасы: 102 и 103. Поэтому максимальное число ходов $ m $ при таком условии ограничено: $ m \le 102 $ (потому что коробка 2 иссякнет первой). Но если $ m $ ходов, и в некоторых из них мы кладём в коробку 4, то коробки 2 и 3 теряют по 1 в каждом ходе, поэтому условие: $ m \le 102 $.
При этом $ m = n_1 + n_4 $.
Коробка 1: $ a_1 = 101 + 4n_1 - m = 101 + 3n_1 - n_4 $.
Коробка 4: $ a_4 = 0 + 4n_4 - m = 3n_4 - n_1 $.
Коробка 2: $ a_2 = 102 + 0 - m = 102 - m \ge 0 $ $\Rightarrow$ $ m \le 102 $.
Коробка 3: $ a_3 = 103 - m \ge 0 $ $\Rightarrow$ $ m \le 103 $ (менее строго).
Чтобы максимизировать $ a_1 $, нужно максимизировать $ n_1 $ и минимизировать $ n_4 $, но при этом $ m = n_1+n_4 \le 102 $ и $ a_4 = 3n_4 - n_1 \ge 0 $ (так как в коробке 4 не может быть отрицательного числа камней). Из $ a_4 \ge 0 $ получаем $ 3n_4 \ge n_1 $.
Тогда $ m = n_1+n_4 \le n_1 + \frac{n_1}{3} = \frac{4}{3}n_1 $. С другой стороны, $ m \le 102 $.
Максимизируем $ n_1 $: из $ \frac{4}{3}n_1 \le 102 $ получаем $ n_1 \le 76.5 $, то есть $ n_1 \le 76 $.
Проверим выполнимость: возьмём $ n_1 = 76 $, тогда $ 3n_4 \ge 76 $ $\Rightarrow$ $ n_4 \ge 26 $ (минимальное целое). Тогда $ m = 76+26=102 $, что удовлетворяет $ m \le 102 $.
Проверим остальные коробки:
$ a_2 = 102 - 102 = 0 $,
$ a_3 = 103 - 102 = 1 $,
$ a_4 = 3\cdot 26 - 76 = 78-76=2 $,
$ a_1 = 101 + 4\cdot 76 - 102 = 101+304-102=303 $.
Все значения неотрицательны.
Можно ли увеличить $ n_1 $ до 77? Тогда минимальное $ n_4 = 26 $ (так как $ 3\cdot 26 = 78 \ge 77 $), тогда $ m = 103 $, но тогда $ a_2 = 102-103 = -1 < 0 $, невозможно.
Значит, максимум $ a_1 $ равен 303.
Результат:
Наибольшее возможное число камней в первой коробке — 303.
Окончательный ответ:
а) Да, б) Нет, в) 303.