Шаг 1
Определим область допустимых значений.
Так как логарифмы определены при $x>0$ и знаменатель $x^2 - |x| = x(x-1)$ не равен нулю, получаем: $x > 0$, $x \neq 1$.
Так как логарифмы определены при $x>0$ и знаменатель $x^2 - |x| = x(x-1)$ не равен нулю, получаем: $x > 0$, $x \neq 1$.
Шаг 2
Упростим логарифмы.
$\log_2(8x) = \log_2 8 + \log_2 x = 3 + \log_2 x$.
$\log_3(27x) = \log_3 27 + \log_3 x = 3 + \log_3 x$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(3 + \log_2 x)(3 + \log_3 x)}{x(x-1)} \leq 0$.
$\log_2(8x) = \log_2 8 + \log_2 x = 3 + \log_2 x$.
$\log_3(27x) = \log_3 27 + \log_3 x = 3 + \log_3 x$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(3 + \log_2 x)(3 + \log_3 x)}{x(x-1)} \leq 0$.
Шаг 3
Найдем нули числителя.
$3 + \log_2 x = 0 \Rightarrow \log_2 x = -3 \Rightarrow x = 2^{-3} = \frac{1}{8}$.
$3 + \log_3 x = 0 \Rightarrow \log_3 x = -3 \Rightarrow x = 3^{-3} = \frac{1}{27}$.
$3 + \log_2 x = 0 \Rightarrow \log_2 x = -3 \Rightarrow x = 2^{-3} = \frac{1}{8}$.
$3 + \log_3 x = 0 \Rightarrow \log_3 x = -3 \Rightarrow x = 3^{-3} = \frac{1}{27}$.
Шаг 4
Определим знак знаменателя $x(x-1)$.
При $0 < x < 1$ знаменатель отрицателен. При $x > 1$ знаменатель положителен.
При $0 < x < 1$ знаменатель отрицателен. При $x > 1$ знаменатель положителен.
Шаг 5
Проведем знаковый анализ выражения на интервалах: $(0, \frac{1}{27})$, $(\frac{1}{27}, \frac{1}{8})$, $(\frac{1}{8}, 1)$, $(1, +\infty)$.
- На $(0, \frac{1}{27})$: оба логарифма меньше $-3$, их суммы отрицательны, произведение положительно. Знаменатель отрицателен. Знак выражения: $+/- = -$.
- На $(\frac{1}{27}, \frac{1}{8})$: $3+\log_3 x > 0$, $3+\log_2 x < 0$, произведение отрицательно. Знаменатель отрицателен. Знак выражения: $-/- = +$.
- На $(\frac{1}{8}, 1)$: оба логарифма больше $-3$, их суммы положительны, произведение положительно. Знаменатель отрицателен. Знак выражения: $+/- = -$.
- На $(1, +\infty)$: числитель и знаменатель положительны. Знак выражения: $+$.
- На $(0, \frac{1}{27})$: оба логарифма меньше $-3$, их суммы отрицательны, произведение положительно. Знаменатель отрицателен. Знак выражения: $+/- = -$.
- На $(\frac{1}{27}, \frac{1}{8})$: $3+\log_3 x > 0$, $3+\log_2 x < 0$, произведение отрицательно. Знаменатель отрицателен. Знак выражения: $-/- = +$.
- На $(\frac{1}{8}, 1)$: оба логарифма больше $-3$, их суммы положительны, произведение положительно. Знаменатель отрицателен. Знак выражения: $+/- = -$.
- На $(1, +\infty)$: числитель и знаменатель положительны. Знак выражения: $+$.
Шаг 6
Учитываем нестрогое неравенство ($\leq 0$).
Выражение равно нулю в точках $x = \frac{1}{8}$ и $x = \frac{1}{27}$, и отрицательно на интервалах $(0, \frac{1}{27})$ и $(\frac{1}{8}, 1)$. Точка $x=1$ не входит в ОДЗ.
Выражение равно нулю в точках $x = \frac{1}{8}$ и $x = \frac{1}{27}$, и отрицательно на интервалах $(0, \frac{1}{27})$ и $(\frac{1}{8}, 1)$. Точка $x=1$ не входит в ОДЗ.
Окончательный ответ:
$(0, \frac{1}{27}] \cup [\frac{1}{8}, 1)$.