Шаг 1
Определим ОДЗ. Логарифмы определены при $x > 0$. Результат: $x > 0$.
Шаг 2
Упростим числовые слагаемые. Исходное неравенство: $1 + 5\log_{4}x - 3 + 6\log_{2}(4x) - \log_{4}(64x^{6}) + 12 \ge 0$. Числа: $1 - 3 + 12 = 10$. Результат: $5\log_{4}x + 6\log_{2}(4x) - \log_{4}(64x^{6}) + 10 \ge 0$.
Шаг 3
Приведем все логарифмы к основанию 2.
$\log_{4}x = \frac{\log_{2}x}{2}$,
$\log_{2}(4x) = \log_{2}4 + \log_{2}x = 2 + \log_{2}x$,
$\log_{4}(64x^{6}) = \frac{\log_{2}(64x^{6})}{2} = \frac{\log_{2}64 + 6\log_{2}x}{2} = \frac{6 + 6\log_{2}x}{2} = 3 + 3\log_{2}x$.
Подставляем: $5 \cdot \frac{\log_{2}x}{2} + 6(2 + \log_{2}x) - (3 + 3\log_{2}x) + 10 \ge 0$.
$\log_{4}x = \frac{\log_{2}x}{2}$,
$\log_{2}(4x) = \log_{2}4 + \log_{2}x = 2 + \log_{2}x$,
$\log_{4}(64x^{6}) = \frac{\log_{2}(64x^{6})}{2} = \frac{\log_{2}64 + 6\log_{2}x}{2} = \frac{6 + 6\log_{2}x}{2} = 3 + 3\log_{2}x$.
Подставляем: $5 \cdot \frac{\log_{2}x}{2} + 6(2 + \log_{2}x) - (3 + 3\log_{2}x) + 10 \ge 0$.
Шаг 4
Упростим выражение.
Раскрываем: $\frac{5}{2}\log_{2}x + 12 + 6\log_{2}x - 3 - 3\log_{2}x + 10 \ge 0$.
Константы: $12 - 3 + 10 = 19$.
Логарифмы: $\frac{5}{2}\log_{2}x + 6\log_{2}x - 3\log_{2}x = \left(\frac{5}{2} + 3\right)\log_{2}x = \frac{11}{2}\log_{2}x$.
Получаем: $\frac{11}{2}\log_{2}x + 19 \ge 0$, или $\frac{11}{2}\log_{2}x \ge -19$.
Раскрываем: $\frac{5}{2}\log_{2}x + 12 + 6\log_{2}x - 3 - 3\log_{2}x + 10 \ge 0$.
Константы: $12 - 3 + 10 = 19$.
Логарифмы: $\frac{5}{2}\log_{2}x + 6\log_{2}x - 3\log_{2}x = \left(\frac{5}{2} + 3\right)\log_{2}x = \frac{11}{2}\log_{2}x$.
Получаем: $\frac{11}{2}\log_{2}x + 19 \ge 0$, или $\frac{11}{2}\log_{2}x \ge -19$.
Шаг 5
Решим неравенство.
$\log_{2}x \ge -\frac{38}{11}$, следовательно $x \ge 2^{-38/11}$.
С учетом ОДЗ $x > 0$ получаем $x \ge 2^{-38/11}$.
$\log_{2}x \ge -\frac{38}{11}$, следовательно $x \ge 2^{-38/11}$.
С учетом ОДЗ $x > 0$ получаем $x \ge 2^{-38/11}$.
Результат:
$x \in \left[2^{-38/11}, +\infty\right)$.
Окончательный ответ:
$\left[2^{-38/11}, +\infty\right)$