Шаг 1
Введем координаты. Поместим A(0,0), C(b,0), B(x,h). Тогда E — середина AB: E(x/2, h/2), F — середина BC: F((x+b)/2, h/2). Отрезок EF горизонтален: y = h/2.
Шаг 2
Пусть I(d,r) — центр вписанной окружности, r — её радиус. Так как окружность касается AC (оси Ox), то её центр имеет координаты (d, r). Условие касания EF: расстояние от центра I до прямой y = h/2 равно радиусу r: |h/2 - r| = r.
Шаг 3
Так как окружность лежит внутри треугольника, а EF — средняя линия, то h/2 > r. Поэтому h/2 - r = r, откуда h = 4r.
Шаг 4
Выразим радиус через площадь. Площадь треугольника S = (1/2) * b * h. Полупериметр s = 36/2 = 18. Радиус вписанной окружности r = S/s = (b h) / 36.
Шаг 5
Подставим h = 4r в выражение для r: r = (b * 4r) / 36. Сокращая на r (r > 0), получаем 1 = 4b/36, откуда b = 9.
Шаг 6
Часть (а) доказана: AC = b = 9.
Шаг 7
Для части (б) дан прямоугольный треугольник с ∠ACB = 90°. Обозначим AC = 9, BC = a, AB = c.
Шаг 8
Периметр: 9 + a + c = 36 ⇒ a + c = 27.
Шаг 9
По теореме Пифагора: a² + 9² = c². Подставляем c = 27 - a: a² + 81 = (27 - a)².
Шаг 10
Решаем уравнение: a² + 81 = 729 - 54a + a² ⇒ 54a = 648 ⇒ a = 12, тогда c = 15.
Шаг 11
Площадь прямоугольного треугольника S = (1/2) * AC * BC = (1/2) * 9 * 12 = 54.
Окончательный ответ:
54