Шаг 1
Запись уравнения и условий.
Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{4x^2 - (4a+2)x + 2a}$.
Условия ОДЗ: $x^2 - a^2 \ge 0$ и $4x^2 - (4a+2)x + 2a \ge 0$.
Уравнение равносильно $x^2 - a^2 = 4x^2 - (4a+2)x + 2a$ при выполнении ОДЗ.
Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{4x^2 - (4a+2)x + 2a}$.
Условия ОДЗ: $x^2 - a^2 \ge 0$ и $4x^2 - (4a+2)x + 2a \ge 0$.
Уравнение равносильно $x^2 - a^2 = 4x^2 - (4a+2)x + 2a$ при выполнении ОДЗ.
Результат:
равносильная система: $x^2 - a^2 = 4x^2 - (4a+2)x + 2a$, $x^2 - a^2 \ge 0$, $4x^2 - (4a+2)x + 2a \ge 0$, $x \in [0, 1]$.
Шаг 2
Преобразование уравнения.
$x^2 - a^2 = 4x^2 - (4a+2)x + 2a$
$-3x^2 + (4a+2)x - a^2 - 2a = 0$
$3x^2 - (4a+2)x + (a^2 + 2a) = 0$.
Дискриминант: $D = (4a+2)^2 - 12(a^2+2a) = 4(a-1)^2$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{4a+2 \pm 2|a-1|}{6}$.
$x^2 - a^2 = 4x^2 - (4a+2)x + 2a$
$-3x^2 + (4a+2)x - a^2 - 2a = 0$
$3x^2 - (4a+2)x + (a^2 + 2a) = 0$.
Дискриминант: $D = (4a+2)^2 - 12(a^2+2a) = 4(a-1)^2$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{4a+2 \pm 2|a-1|}{6}$.
Шаг 3
Случай $a \ge 1$.
Тогда $|a-1| = a-1$.
$x_1 = \frac{4a+2 + 2(a-1)}{6} = a$.
$x_2 = \frac{4a+2 - 2(a-1)}{6} = \frac{a+2}{3}$.
При $a > 1$: $x_2 > 1$, не входит в $[0,1]$.
При $a=1$: $x_1 = x_2 = 1$, корень один (двойной). Проверка ОДЗ для $x=1$: оба подкоренных выражения равны 0.
Результат для $a \ge 1$: только $a=1$ даёт единственный корень $x=1$ на отрезке.
Тогда $|a-1| = a-1$.
$x_1 = \frac{4a+2 + 2(a-1)}{6} = a$.
$x_2 = \frac{4a+2 - 2(a-1)}{6} = \frac{a+2}{3}$.
При $a > 1$: $x_2 > 1$, не входит в $[0,1]$.
При $a=1$: $x_1 = x_2 = 1$, корень один (двойной). Проверка ОДЗ для $x=1$: оба подкоренных выражения равны 0.
Результат для $a \ge 1$: только $a=1$ даёт единственный корень $x=1$ на отрезке.
Шаг 4
Случай $a < 1$.
Тогда $|a-1| = 1-a$.
$x_1 = \frac{4a+2 + 2(1-a)}{6} = \frac{a+2}{3}$.
$x_2 = \frac{4a+2 - 2(1-a)}{6} = a$.
Тогда $|a-1| = 1-a$.
$x_1 = \frac{4a+2 + 2(1-a)}{6} = \frac{a+2}{3}$.
$x_2 = \frac{4a+2 - 2(1-a)}{6} = a$.
Шаг 5
Проверка корня $x_2 = a$.
Условие $x \in [0,1]$: $a \in [0,1]$.
ОДЗ: $a^2 - a^2 = 0$ и $4a^2 - (4a+2)a + 2a = 0$ — верно.
Значит при $a \in [0,1]$ корень $x=a$ всегда удовлетворяет системе.
Условие $x \in [0,1]$: $a \in [0,1]$.
ОДЗ: $a^2 - a^2 = 0$ и $4a^2 - (4a+2)a + 2a = 0$ — верно.
Значит при $a \in [0,1]$ корень $x=a$ всегда удовлетворяет системе.
Шаг 6
Проверка корня $x_1 = \frac{a+2}{3}$.
Условие $x \in [0,1]$: $0 \le \frac{a+2}{3} \le 1$ $\Rightarrow$ $-2 \le a \le 1$.
ОДЗ1: $\left( \frac{a+2}{3} \right)^2 - a^2 \ge 0$ $\Rightarrow$ $2a^2 - a - 1 \le 0$ $\Rightarrow$ $a \in \left[ -\frac{1}{2}, 1 \right]$.
ОДЗ2 даёт то же условие.
Итого для $x_1$: $a \in \left[ -\frac{1}{2}, 1 \right]$.
Условие $x \in [0,1]$: $0 \le \frac{a+2}{3} \le 1$ $\Rightarrow$ $-2 \le a \le 1$.
ОДЗ1: $\left( \frac{a+2}{3} \right)^2 - a^2 \ge 0$ $\Rightarrow$ $2a^2 - a - 1 \le 0$ $\Rightarrow$ $a \in \left[ -\frac{1}{2}, 1 \right]$.
ОДЗ2 даёт то же условие.
Итого для $x_1$: $a \in \left[ -\frac{1}{2}, 1 \right]$.
Шаг 7
Анализ количества корней на $[0,1]$.
При $a < 1$:
- При $a \in \left[ -\frac{1}{2}, 0 \right)$: $x=a < 0$ (не в отрезке), $x_1$ — единственный корень.
- При $a=0$: $x=0$ и $x_1=\frac{2}{3}$ — два корня.
- При $a \in (0,1)$: оба корня $x=a$ и $x_1$ лежат в $[0,1]$ и удовлетворяют ОДЗ — два корня.
- При $a < -\frac{1}{2}$: $x_1$ не удовлетворяет ОДЗ, $x=a$ не в отрезке — корней нет.
При $a \ge 1$: только $a=1$ даёт один корень.
При $a < 1$:
- При $a \in \left[ -\frac{1}{2}, 0 \right)$: $x=a < 0$ (не в отрезке), $x_1$ — единственный корень.
- При $a=0$: $x=0$ и $x_1=\frac{2}{3}$ — два корня.
- При $a \in (0,1)$: оба корня $x=a$ и $x_1$ лежат в $[0,1]$ и удовлетворяют ОДЗ — два корня.
- При $a < -\frac{1}{2}$: $x_1$ не удовлетворяет ОДЗ, $x=a$ не в отрезке — корней нет.
При $a \ge 1$: только $a=1$ даёт один корень.
Шаг 8
Итог.
Единственный корень на $[0,1]$ получается при:
1) $a \in \left[ -\frac{1}{2}, 0 \right)$ — корень $x_1 = \frac{a+2}{3}$.
2) $a = 1$ — корень $x=1$.
Граница $a=-\frac{1}{2}$ включается (один корень $x_1=0.5$), $a=0$ — два корня, не включается.
Единственный корень на $[0,1]$ получается при:
1) $a \in \left[ -\frac{1}{2}, 0 \right)$ — корень $x_1 = \frac{a+2}{3}$.
2) $a = 1$ — корень $x=1$.
Граница $a=-\frac{1}{2}$ включается (один корень $x_1=0.5$), $a=0$ — два корня, не включается.
Окончательный ответ:
$\left[ -\frac{1}{2}, 0 \right) \cup \{1\}$.