Шаг 1
Упростим уравнение.
$(5x-2) \cdot \ln(x+a) = (5x-2) \cdot \ln(2x-a)$
Выносим общий множитель: $(5x-2) \cdot \left[ \ln(x+a) - \ln(2x-a) \right] = 0$
Уравнение распадается на два случая:
1) $5x-2 = 0$
2) $\ln\left( \frac{x+a}{2x-a} \right) = 0$, что равносильно $\frac{x+a}{2x-a} = 1$ при условиях $x+a>0$ и $2x-a>0$.
$(5x-2) \cdot \ln(x+a) = (5x-2) \cdot \ln(2x-a)$
Выносим общий множитель: $(5x-2) \cdot \left[ \ln(x+a) - \ln(2x-a) \right] = 0$
Уравнение распадается на два случая:
1) $5x-2 = 0$
2) $\ln\left( \frac{x+a}{2x-a} \right) = 0$, что равносильно $\frac{x+a}{2x-a} = 1$ при условиях $x+a>0$ и $2x-a>0$.
Шаг 2
Рассмотрим случай 1.
$5x-2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5} = 0.4$.
Этот корень лежит в $[0;1]$. Для его существования в ОДЗ исходного уравнения требуем:
$x+a > 0 \Rightarrow 0.4 + a > 0 \Rightarrow a > -0.4$
$2x-a > 0 \Rightarrow 0.8 - a > 0 \Rightarrow a < 0.8$
Итак, $x=0.4$ — корень при $a \in (-0.4; 0.8)$.
$5x-2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5} = 0.4$.
Этот корень лежит в $[0;1]$. Для его существования в ОДЗ исходного уравнения требуем:
$x+a > 0 \Rightarrow 0.4 + a > 0 \Rightarrow a > -0.4$
$2x-a > 0 \Rightarrow 0.8 - a > 0 \Rightarrow a < 0.8$
Итак, $x=0.4$ — корень при $a \in (-0.4; 0.8)$.
Шаг 3
Рассмотрим случай 2.
$\frac{x+a}{2x-a} = 1 \Rightarrow x+a = 2x-a \Rightarrow x = 2a$.
Условия ОДЗ: $x+a > 0 \Rightarrow 3a > 0 \Rightarrow a > 0$ и $2x-a > 0 \Rightarrow 3a > 0 \Rightarrow a > 0$.
Также $x=2a$ должно принадлежать $[0;1]$: $0 \le 2a \le 1 \Rightarrow 0 \le a \le 0.5$.
При $a=0$ имеем $x=0$, но $\ln(0)$ не определён. Значит, случай 2 даёт корень $x=2a$ при $a \in (0; 0.5]$.
$\frac{x+a}{2x-a} = 1 \Rightarrow x+a = 2x-a \Rightarrow x = 2a$.
Условия ОДЗ: $x+a > 0 \Rightarrow 3a > 0 \Rightarrow a > 0$ и $2x-a > 0 \Rightarrow 3a > 0 \Rightarrow a > 0$.
Также $x=2a$ должно принадлежать $[0;1]$: $0 \le 2a \le 1 \Rightarrow 0 \le a \le 0.5$.
При $a=0$ имеем $x=0$, но $\ln(0)$ не определён. Значит, случай 2 даёт корень $x=2a$ при $a \in (0; 0.5]$.
Шаг 4
Анализ количества корней на отрезке $[0;1]$.
Возможные корни: $x_1 = 0.4$ (при $a \in (-0.4; 0.8)$) и $x_2 = 2a$ (при $a \in (0; 0.5]$).
Требуется, чтобы на $[0;1]$ был ровно один корень.
Возможные корни: $x_1 = 0.4$ (при $a \in (-0.4; 0.8)$) и $x_2 = 2a$ (при $a \in (0; 0.5]$).
Требуется, чтобы на $[0;1]$ был ровно один корень.
Шаг 5
Разбор по параметру $a$.
1) $a \le -0.4$: $x_1$ не в ОДЗ, $x_2 \notin [0;1]$. Корней нет.
2) $a \in (-0.4; 0]$: $x_1$ — корень, $x_2$ не существует (так как $a \le 0$). Ровно один корень.
3) $a \in (0; 0.5]$: $x_1$ — корень, $x_2$ — корень. Если $x_1 \ne x_2$, то два корня. Они совпадают при $2a = 0.4 \Rightarrow a=0.2$. Значит, ровно один корень только при $a=0.2$.
4) $a \in (0.5; 0.8)$: $x_1$ — корень, $x_2 > 1$ (так как $2a > 1$). Ровно один корень.
5) $a \ge 0.8$: $x_1$ не в ОДЗ, $x_2 \notin [0;1]$. Корней нет.
1) $a \le -0.4$: $x_1$ не в ОДЗ, $x_2 \notin [0;1]$. Корней нет.
2) $a \in (-0.4; 0]$: $x_1$ — корень, $x_2$ не существует (так как $a \le 0$). Ровно один корень.
3) $a \in (0; 0.5]$: $x_1$ — корень, $x_2$ — корень. Если $x_1 \ne x_2$, то два корня. Они совпадают при $2a = 0.4 \Rightarrow a=0.2$. Значит, ровно один корень только при $a=0.2$.
4) $a \in (0.5; 0.8)$: $x_1$ — корень, $x_2 > 1$ (так как $2a > 1$). Ровно один корень.
5) $a \ge 0.8$: $x_1$ не в ОДЗ, $x_2 \notin [0;1]$. Корней нет.
Шаг 6
Проверка граничных точек.
$a = -0.4$: $x_1$ не в ОДЗ ($\ln(0)$), $x_2 \notin [0;1]$. Нет корней.
$a = 0.5$: $x_1=0.4$ и $x_2=1$ — оба корня. Не подходит.
$a = 0.8$: $x_1$ не в ОДЗ ($\ln(0)$), $x_2 \notin [0;1]$. Нет корней.
$a = -0.4$: $x_1$ не в ОДЗ ($\ln(0)$), $x_2 \notin [0;1]$. Нет корней.
$a = 0.5$: $x_1=0.4$ и $x_2=1$ — оба корня. Не подходит.
$a = 0.8$: $x_1$ не в ОДЗ ($\ln(0)$), $x_2 \notin [0;1]$. Нет корней.
Шаг 7
Объединение подходящих значений.
Ровно один корень на $[0;1]$ при:
$a \in (-0.4; 0] \cup \{0.2\} \cup (0.5; 0.8)$.
Ровно один корень на $[0;1]$ при:
$a \in (-0.4; 0] \cup \{0.2\} \cup (0.5; 0.8)$.
Окончательный ответ:
$(-0.4, 0] \cup \{0.2\} \cup (0.5, 0.8)$