Шаг 1
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF вершина S проектируется в центр O основания. Сторона основания AB = 2, боковое ребро SA = 8. В треугольнике SAO: SA = 8, AO = 2 (радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен стороне).
Шаг 2
Находим высоту пирамиды SO по теореме Пифагора: $SO = \sqrt{SA^{2} - AO^{2}} = \sqrt{8^{2} - 2^{2}} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$.
Шаг 3
Площадь правильного шестиугольника со стороной 2 равна $S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^{2} = 6\sqrt{3}$.
Шаг 4
Объем пирамиды $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{15} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{15} = 4\sqrt{45} = 4 \cdot 3\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$.
Окончательный ответ:
$12\sqrt{5}$