Шаг 1
Преобразуем уравнение.
Исходное: $\sin x + 2 \sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} \sin 2x + 1$.
По формуле синуса суммы: $2 \sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = 2 \left( \sin 2x \cos \frac{\pi}{6} + \cos 2x \sin \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x$.
Подставляем: $\sin x + \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x = \sqrt{3} \sin 2x + 1$.
Исходное: $\sin x + 2 \sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} \sin 2x + 1$.
По формуле синуса суммы: $2 \sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = 2 \left( \sin 2x \cos \frac{\pi}{6} + \cos 2x \sin \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x$.
Подставляем: $\sin x + \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x = \sqrt{3} \sin 2x + 1$.
Результат:
Уравнение упрощается до $\sin x + \cos 2x = 1$.
Шаг 2
Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^{2} x$.
Получаем: $\sin x + 1 - 2\sin^{2} x = 1 \Rightarrow \sin x - 2\sin^{2} x = 0$.
Получаем: $\sin x + 1 - 2\sin^{2} x = 1 \Rightarrow \sin x - 2\sin^{2} x = 0$.
Результат:
$\sin x (1 - 2\sin x) = 0$.
Шаг 3
Решаем уравнение.
1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $1 - 2\sin x = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.
1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $1 - 2\sin x = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.
Результат:
Общее решение: $x = \pi n$, $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$, $n, k, m \in \mathbb{Z}$.
Шаг 4
Проверка корней в исходном уравнении (посторонних нет).
Для $x = \pi n$: левая часть $0 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$, правая часть $0 + 1 = 1$.
Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: левая часть $\frac{1}{2} + 2 \cdot 1 = \frac{5}{2}$, правая часть $\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{5}{2}$.
Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$: левая часть $\frac{1}{2} + 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{2}$, правая часть $\sqrt{3} \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 1 = -\frac{1}{2}$.
Для $x = \pi n$: левая часть $0 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$, правая часть $0 + 1 = 1$.
Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: левая часть $\frac{1}{2} + 2 \cdot 1 = \frac{5}{2}$, правая часть $\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{5}{2}$.
Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$: левая часть $\frac{1}{2} + 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{2}$, правая часть $\sqrt{3} \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 1 = -\frac{1}{2}$.
Результат:
Все найденные корни подходят.
Шаг 5
Отбор корней на отрезке $\left[ -\frac{7\pi}{2}, -2\pi \right]$.
1) $x = \pi n$: $n = -3 \Rightarrow x = -3\pi$; $n = -2 \Rightarrow x = -2\pi$.
2) $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = -2$ и $k = -1$ значения не попадают в отрезок.
3) $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$: $m = -2 \Rightarrow x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6}$.
1) $x = \pi n$: $n = -3 \Rightarrow x = -3\pi$; $n = -2 \Rightarrow x = -2\pi$.
2) $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = -2$ и $k = -1$ значения не попадают в отрезок.
3) $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$: $m = -2 \Rightarrow x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6}$.
Результат:
Корни на отрезке: $-3\pi$, $-\frac{19\pi}{6}$, $-2\pi$.
Окончательный ответ: