Шаг 1
Используем свойства нечётности и чётности: $\sin(-x) = -\sin x$, $\cos(-x) = \cos x$. Уравнение принимает вид:
$2\sin x \cos x + \sin x + 2\cos x + 1 = 0$.
$2\sin x \cos x + \sin x + 2\cos x + 1 = 0$.
Шаг 2
Группируем слагаемые: $(2\sin x \cos x + \sin x) + (2\cos x + 1) = \sin x(2\cos x + 1) + 1(2\cos x + 1)$. Выносим общий множитель:
$(2\cos x + 1)(\sin x + 1) = 0$.
$(2\cos x + 1)(\sin x + 1) = 0$.
Шаг 3
Получаем две простейшие тригонометрические уравнения:
1) $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2}$.
2) $\sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -1$.
1) $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2}$.
2) $\sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -1$.
Шаг 4
Находим общие решения:
- Для $\cos x = -\frac{1}{2}$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
- Для $\sin x = -1$: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
- Для $\cos x = -\frac{1}{2}$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
- Для $\sin x = -1$: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Шаг 5
Отбираем корни на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$:
- Из серии $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$ при $n=0$: $x_1 = \frac{3\pi}{2}$.
- Из серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ при $k=1$: $x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$.
- Из серии $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$ при $k=1$: $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3} > 3\pi$, не входит.
- Из серии $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$ при $n=0$: $x_1 = \frac{3\pi}{2}$.
- Из серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ при $k=1$: $x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$.
- Из серии $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$ при $k=1$: $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3} > 3\pi$, не входит.
Окончательный ответ:
$\frac{3\pi}{2},\; \frac{8\pi}{3}$.