Шаг 1
Анализ условий.
Пусть $k_i$ — количество чисел в $i$-й день, $S_i$ — их сумма.
Условия:
1) $k_i \in \mathbb{N}$, $k_{i+1} < k_i$ (количество строго убывает).
2) $S_{i+1} > S_i$ (сумма строго возрастает).
3) Все числа — натуральные от 1 до 5.
Поскольку $k_i$ строго убывают и $k_i \ge 1$, максимальное число дней $n$ равно $k_1$ (если $k_1 = m$, то $k_m = 1$).
а) Может ли $n$ быть больше 6?
Рассмотрим цепочку $k_i: m, m-1, \dots, 1$.
Максимальная сумма при $k$ числах: $S_{\max}(k) = 5k$.
Минимальная сумма: $S_{\min}(k) = k$.
Для роста сумм необходимо $S_{\min}(k_{i+1}) > S_{\max}(k_i)$, т.е. $k_{i+1} > 5k_i$, но $k_{i+1} < k_i$, что невозможно. Значит, рост достигается только за счёт увеличения среднего значения чисел.
Проверим $n=6$: $k_i: 6,5,4,3,2,1$.
Максимум $S_1 = 30$, минимум $S_6 = 1$, но $S_6$ должна быть больше $S_5 \ge 2$ — невозможно.
Для $n=5$: $k_i: 5,4,3,2,1$. Даже если $S_1$ минимальна ($S_1=5$), то $S_2 \le 20$, $S_3 \le 15$, и уже $S_3 < S_2$ — противоречие.
Для $n=4$: $k_i: 4,3,2,1$. Из условий $S_1 < S_2 < S_3 < S_4 \le 5$ и $S_1 \ge 4$, $S_2 \ge 3$, $S_3 \ge 2$ получаем единственный вариант: $S_1=4$, $S_2=5$, $S_3=5?$ — но $S_3$ должно быть больше 5, а $S_4 \le 5$, значит, невозможно.
Для $n=3$ пример возможен:
День 1: $k=3$, числа 1,1,1 $\Rightarrow S_1=3$
День 2: $k=2$, числа 2,2 $\Rightarrow S_2=4$
День 3: $k=1$, число 5 $\Rightarrow S_3=5$
Условия выполнены.
Таким образом, максимальное $n=3$, поэтому $n$ не может быть больше 6.
Результат (а): Нет.
Пусть $k_i$ — количество чисел в $i$-й день, $S_i$ — их сумма.
Условия:
1) $k_i \in \mathbb{N}$, $k_{i+1} < k_i$ (количество строго убывает).
2) $S_{i+1} > S_i$ (сумма строго возрастает).
3) Все числа — натуральные от 1 до 5.
Поскольку $k_i$ строго убывают и $k_i \ge 1$, максимальное число дней $n$ равно $k_1$ (если $k_1 = m$, то $k_m = 1$).
а) Может ли $n$ быть больше 6?
Рассмотрим цепочку $k_i: m, m-1, \dots, 1$.
Максимальная сумма при $k$ числах: $S_{\max}(k) = 5k$.
Минимальная сумма: $S_{\min}(k) = k$.
Для роста сумм необходимо $S_{\min}(k_{i+1}) > S_{\max}(k_i)$, т.е. $k_{i+1} > 5k_i$, но $k_{i+1} < k_i$, что невозможно. Значит, рост достигается только за счёт увеличения среднего значения чисел.
Проверим $n=6$: $k_i: 6,5,4,3,2,1$.
Максимум $S_1 = 30$, минимум $S_6 = 1$, но $S_6$ должна быть больше $S_5 \ge 2$ — невозможно.
Для $n=5$: $k_i: 5,4,3,2,1$. Даже если $S_1$ минимальна ($S_1=5$), то $S_2 \le 20$, $S_3 \le 15$, и уже $S_3 < S_2$ — противоречие.
Для $n=4$: $k_i: 4,3,2,1$. Из условий $S_1 < S_2 < S_3 < S_4 \le 5$ и $S_1 \ge 4$, $S_2 \ge 3$, $S_3 \ge 2$ получаем единственный вариант: $S_1=4$, $S_2=5$, $S_3=5?$ — но $S_3$ должно быть больше 5, а $S_4 \le 5$, значит, невозможно.
Для $n=3$ пример возможен:
День 1: $k=3$, числа 1,1,1 $\Rightarrow S_1=3$
День 2: $k=2$, числа 2,2 $\Rightarrow S_2=4$
День 3: $k=1$, число 5 $\Rightarrow S_3=5$
Условия выполнены.
Таким образом, максимальное $n=3$, поэтому $n$ не может быть больше 6.
Результат (а): Нет.
Шаг 2
Пункт (б).
Пусть среднее арифметическое первого дня меньше 2: $A_1 = \frac{S_1}{k_1} < 2 \Rightarrow S_1 < 2k_1$.
Так как числа натуральные, $S_1 \ge k_1$, поэтому $k_1 \le S_1 < 2k_1$.
Общее среднее за все дни: $A_{\text{общ}} = \frac{S_1 + \dots + S_n}{k_1 + \dots + k_n} > 4$.
Максимальное $n=3$. Возьмём $n=3$, $k_1=3$, $k_2=2$, $k_3=1$. Тогда общее количество чисел: $3+2+1=6$.
Неравенство $A_{\text{общ}} > 4$ даёт $S_1+S_2+S_3 > 24$.
Но $S_1 < 6$, $S_2 \le 10$, $S_3 \le 5$, поэтому максимум суммы: $5+10+5=20 < 24$.
Для $n=2$ общее количество чисел 3, нужно $S_1+S_2 > 12$, но $S_1 \le 3$, $S_2 \le 5$, сумма $\le 8$.
Следовательно, условие невыполнимо.
Результат (б): Нет.
Пусть среднее арифметическое первого дня меньше 2: $A_1 = \frac{S_1}{k_1} < 2 \Rightarrow S_1 < 2k_1$.
Так как числа натуральные, $S_1 \ge k_1$, поэтому $k_1 \le S_1 < 2k_1$.
Общее среднее за все дни: $A_{\text{общ}} = \frac{S_1 + \dots + S_n}{k_1 + \dots + k_n} > 4$.
Максимальное $n=3$. Возьмём $n=3$, $k_1=3$, $k_2=2$, $k_3=1$. Тогда общее количество чисел: $3+2+1=6$.
Неравенство $A_{\text{общ}} > 4$ даёт $S_1+S_2+S_3 > 24$.
Но $S_1 < 6$, $S_2 \le 10$, $S_3 \le 5$, поэтому максимум суммы: $5+10+5=20 < 24$.
Для $n=2$ общее количество чисел 3, нужно $S_1+S_2 > 12$, но $S_1 \le 3$, $S_2 \le 5$, сумма $\le 8$.
Следовательно, условие невыполнимо.
Результат (б): Нет.
Шаг 3
Пункт (в).
Дано: $S_1=5$. Найти наибольшую сумму всех чисел за все дни.
Из анализа (а) максимальное число дней $n=4$ (при $S_1=5$ $n=3$ невозможно, так как тогда $S_2 > 5$ и $S_3 > S_2$, но $S_3 \le 5$).
Построим пример для $n=4$: $k_1=5$, $k_2=4$, $k_3=3$, $k_4=2$.
Выберем суммы так, чтобы они росли и были максимально возможными:
$S_1=5$ (например, пять единиц),
$S_2=8$ (например, 2,2,2,2),
$S_3=9$ (например, 3,3,3),
$S_4=10$ (например, 5,5).
Проверка: $5 < 8 < 9 < 10$, количества убывают.
Можно ли увеличить суммы?
$S_4 \le 10$ (максимум для двух чисел).
Тогда $S_3 < 10$, максимум $S_3=9$ (целое).
Далее $S_2 < 9$, максимум $S_2=8$.
$S_1=5$ фиксировано.
Итого максимальная сумма: $5+8+9+10=32$.
Для $n=5$: $k_i: 5,4,3,2,1$. Тогда $S_5 \le 5$, $S_4 < 5 \Rightarrow S_4 \le 4$, $S_3 < 4 \Rightarrow S_3 \le 3$, но при $k=3$ минимум $S_3=3$, тогда $S_2 < 3$, но при $k=4$ минимум $S_2=4$ — противоречие. Значит, $n=5$ невозможно.
Результат (в): 32.
Дано: $S_1=5$. Найти наибольшую сумму всех чисел за все дни.
Из анализа (а) максимальное число дней $n=4$ (при $S_1=5$ $n=3$ невозможно, так как тогда $S_2 > 5$ и $S_3 > S_2$, но $S_3 \le 5$).
Построим пример для $n=4$: $k_1=5$, $k_2=4$, $k_3=3$, $k_4=2$.
Выберем суммы так, чтобы они росли и были максимально возможными:
$S_1=5$ (например, пять единиц),
$S_2=8$ (например, 2,2,2,2),
$S_3=9$ (например, 3,3,3),
$S_4=10$ (например, 5,5).
Проверка: $5 < 8 < 9 < 10$, количества убывают.
Можно ли увеличить суммы?
$S_4 \le 10$ (максимум для двух чисел).
Тогда $S_3 < 10$, максимум $S_3=9$ (целое).
Далее $S_2 < 9$, максимум $S_2=8$.
$S_1=5$ фиксировано.
Итого максимальная сумма: $5+8+9+10=32$.
Для $n=5$: $k_i: 5,4,3,2,1$. Тогда $S_5 \le 5$, $S_4 < 5 \Rightarrow S_4 \le 4$, $S_3 < 4 \Rightarrow S_3 \le 3$, но при $k=3$ минимум $S_3=3$, тогда $S_2 < 3$, но при $k=4$ минимум $S_2=4$ — противоречие. Значит, $n=5$ невозможно.
Результат (в): 32.
Окончательный ответ: