Шаг 1
Определим область допустимых значений.
Результат:
Выражение $\sqrt{2-3x}$ определено при $2-3x \ge 0$, то есть $x \le \frac{2}{3}$. Логарифмы определены при $16x^2 - a^2 > 0$ и $4x + a > 0$.
Шаг 2
Преобразуем уравнение.
Результат:
Выносим общий множитель: $\sqrt{2-3x} \cdot \left( \ln(16x^2 - a^2) - \ln(4x + a) \right) = 0$. Это равносильно $\sqrt{2-3x} \cdot \ln\left( \frac{16x^2 - a^2}{4x + a} \right) = 0$.
Шаг 3
Рассмотрим два случая.
Результат:
Уравнение выполняется, если $\sqrt{2-3x} = 0$ или $\ln\left( \frac{16x^2 - a^2}{4x + a} \right) = 0$.
Шаг 4
Первый случай.
Результат:
$\sqrt{2-3x} = 0$ дает $x = \frac{2}{3}$. Этот корень должен удовлетворять ОДЗ логарифмов.
Шаг 5
Второй случай.
Результат:
$\ln\left( \frac{16x^2 - a^2}{4x + a} \right) = 0$ равносильно $\frac{16x^2 - a^2}{4x + a} = 1$. Учитывая, что $4x + a > 0$, получаем $16x^2 - a^2 = 4x + a$, то есть $16x^2 - 4x - (a^2 + a) = 0$.
Шаг 6
Условие единственности корня.
1) Корень $x = \frac{2}{3}$ из первого случая является также корнем уравнения из второго случая, и других корней нет.
2) Или второй случай дает единственный корень, отличный от $\frac{2}{3}$, а первый случай не дает корней (но $x=\frac{2}{3}$ всегда корень первого случая, поэтому этот вариант невозможен).
Следовательно, $x = \frac{2}{3}$ должен быть корнем уравнения $16x^2 - 4x - (a^2 + a) = 0$.
Результат:
Исходное уравнение должно иметь ровно один корень. Это возможно, если:
1) Корень $x = \frac{2}{3}$ из первого случая является также корнем уравнения из второго случая, и других корней нет.
2) Или второй случай дает единственный корень, отличный от $\frac{2}{3}$, а первый случай не дает корней (но $x=\frac{2}{3}$ всегда корень первого случая, поэтому этот вариант невозможен).
Следовательно, $x = \frac{2}{3}$ должен быть корнем уравнения $16x^2 - 4x - (a^2 + a) = 0$.
Шаг 7
Подставим $x = \frac{2}{3}$.
Результат:
$16 \cdot \left( \frac{4}{9} \right) - 4 \cdot \left( \frac{2}{3} \right) - (a^2 + a) = 0$. Это дает $\frac{64}{9} - \frac{8}{3} = a^2 + a$, то есть $a^2 + a = \frac{40}{9}$.
Шаг 8
Решим квадратное уравнение.
Результат:
$9a^2 + 9a - 40 = 0$. Дискриминант $D = 81 + 1440 = 1521$, $a = \frac{-9 \pm 39}{18}$. Корни: $a_1 = \frac{5}{3}$, $a_2 = -\frac{8}{3}$.
Шаг 9
Проверим ОДЗ для $x = \frac{2}{3}$.
- При $a = \frac{5}{3}$: $\frac{8}{3} + \frac{5}{3} = \frac{13}{3} > 0$ — верно.
- При $a = -\frac{8}{3}$: $\frac{8}{3} - \frac{8}{3} = 0$ — не удовлетворяет строгому неравенству.
Результат:
Для $x = \frac{2}{3}$ должно выполняться $4x + a > 0$, то есть $\frac{8}{3} + a > 0$.
- При $a = \frac{5}{3}$: $\frac{8}{3} + \frac{5}{3} = \frac{13}{3} > 0$ — верно.
- При $a = -\frac{8}{3}$: $\frac{8}{3} - \frac{8}{3} = 0$ — не удовлетворяет строгому неравенству.
Шаг 10
Проверим, что при $a = \frac{5}{3}$ других корней нет.
Результат:
При $a = \frac{5}{3}$ уравнение из второго случая $16x^2 - 4x - \left( \frac{25}{9} + \frac{5}{3} \right) = 0$ превращается в $16x^2 - 4x - \frac{40}{9} = 0$. Его корни: $x_1 = \frac{2}{3}$ и $x_2 = -\frac{5}{12}$. Корень $x_2 = -\frac{5}{12}$ необходимо проверить на ОДЗ исходного уравнения. При $a = \frac{5}{3}$ условие $4x + a > 0$ для $x_2$ дает $4 \cdot \left( -\frac{5}{12} \right) + \frac{5}{3} = -\frac{5}{3} + \frac{5}{3} = 0$, что недопустимо. Значит, $x_2$ не входит в ОДЗ. Таким образом, единственный корень — $x = \frac{2}{3}$.
Окончательный ответ:
$\frac{5}{3}$