Шаг 1
Упростим уравнение, используя $\sin(-x) = -\sin x$.
Исходное: $2\sin x + 2\sqrt{3}\sin(-x) - 4\cos 2x = \sqrt{3} - 4$.
После подстановки: $2\sin x - 2\sqrt{3}\sin x - 4\cos 2x = \sqrt{3} - 4$.
Исходное: $2\sin x + 2\sqrt{3}\sin(-x) - 4\cos 2x = \sqrt{3} - 4$.
После подстановки: $2\sin x - 2\sqrt{3}\sin x - 4\cos 2x = \sqrt{3} - 4$.
Шаг 2
Выносим общий множитель: $2(1 - \sqrt{3})\sin x - 4\cos 2x = \sqrt{3} - 4$.
Шаг 3
Заметим, что $1 - \sqrt{3} = -(\sqrt{3} - 1)$. Тогда уравнение становится:
$-2(\sqrt{3} - 1)\sin x - 4\cos 2x = \sqrt{3} - 4$.
$-2(\sqrt{3} - 1)\sin x - 4\cos 2x = \sqrt{3} - 4$.
Шаг 4
Умножим на $-1$: $2(\sqrt{3} - 1)\sin x + 4\cos 2x + \sqrt{3} - 4 = 0$.
Шаг 5
Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^{2} x$:
$2(\sqrt{3} - 1)\sin x + 4(1 - 2\sin^{2} x) + \sqrt{3} - 4 = 0$.
Раскрываем скобки: $2(\sqrt{3} - 1)\sin x + 4 - 8\sin^{2} x + \sqrt{3} - 4 = 0$.
Упрощаем: $2(\sqrt{3} - 1)\sin x - 8\sin^{2} x + \sqrt{3} = 0$.
$2(\sqrt{3} - 1)\sin x + 4(1 - 2\sin^{2} x) + \sqrt{3} - 4 = 0$.
Раскрываем скобки: $2(\sqrt{3} - 1)\sin x + 4 - 8\sin^{2} x + \sqrt{3} - 4 = 0$.
Упрощаем: $2(\sqrt{3} - 1)\sin x - 8\sin^{2} x + \sqrt{3} = 0$.
Шаг 6
Умножим на $-1$ и запишем в стандартном виде:
$8\sin^{2} x - 2(\sqrt{3} - 1)\sin x - \sqrt{3} = 0$.
$8\sin^{2} x - 2(\sqrt{3} - 1)\sin x - \sqrt{3} = 0$.
Шаг 7
Решаем квадратное уравнение относительно $t = \sin x$:
$8t^{2} - 2(\sqrt{3} - 1)t - \sqrt{3} = 0$.
Дискриминант: $D = \left[-2(\sqrt{3} - 1)\right]^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (-\sqrt{3}) = 4(\sqrt{3} - 1)^{2} + 32\sqrt{3}$.
Вычисляем: $(\sqrt{3} - 1)^{2} = 4 - 2\sqrt{3}$, тогда $D = 4(4 - 2\sqrt{3}) + 32\sqrt{3} = 16 + 24\sqrt{3}$.
$8t^{2} - 2(\sqrt{3} - 1)t - \sqrt{3} = 0$.
Дискриминант: $D = \left[-2(\sqrt{3} - 1)\right]^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (-\sqrt{3}) = 4(\sqrt{3} - 1)^{2} + 32\sqrt{3}$.
Вычисляем: $(\sqrt{3} - 1)^{2} = 4 - 2\sqrt{3}$, тогда $D = 4(4 - 2\sqrt{3}) + 32\sqrt{3} = 16 + 24\sqrt{3}$.
Шаг 8
Корни: $t = \frac{2(\sqrt{3} - 1) \pm \sqrt{16 + 24\sqrt{3}}}{16} = \frac{(\sqrt{3} - 1) \pm \sqrt{4 + 6\sqrt{3}}}{8}$.
Таким образом, $\sin x = \frac{\sqrt{3} - 1 + \sqrt{4 + 6\sqrt{3}}}{8}$ или $\sin x = \frac{\sqrt{3} - 1 - \sqrt{4 + 6\sqrt{3}}}{8}$.
Таким образом, $\sin x = \frac{\sqrt{3} - 1 + \sqrt{4 + 6\sqrt{3}}}{8}$ или $\sin x = \frac{\sqrt{3} - 1 - \sqrt{4 + 6\sqrt{3}}}{8}$.
Шаг 9
Обозначим:
$\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3} - 1 + \sqrt{4 + 6\sqrt{3}}}{8}\right) \approx 0.601$,
$\beta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3} - 1 - \sqrt{4 + 6\sqrt{3}}}{8}\right) \approx -0.392$.
Тогда общее решение:
$x = (-1)^{n}\alpha + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ или $x = (-1)^{m}\beta + \pi m,\ m \in \mathbb{Z}$.
$\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3} - 1 + \sqrt{4 + 6\sqrt{3}}}{8}\right) \approx 0.601$,
$\beta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3} - 1 - \sqrt{4 + 6\sqrt{3}}}{8}\right) \approx -0.392$.
Тогда общее решение:
$x = (-1)^{n}\alpha + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ или $x = (-1)^{m}\beta + \pi m,\ m \in \mathbb{Z}$.
Шаг 10
Найдём корни на отрезке $\left[2\pi, \frac{7\pi}{2}\right]$.
Для первой серии $x = (-1)^{n}\alpha + \pi n$:
При $n = 2k$: $x = \alpha + 2\pi k$. При $k=1$: $x = \alpha + 2\pi \in [2\pi, 7\pi/2]$.
При $n = 2k+1$: $x = \pi(2k+1) - \alpha$. При $k=1$: $x = 3\pi - \alpha \in [2\pi, 7\pi/2]$.
Для второй серии $x = (-1)^{m}\beta + \pi m$:
При $m = 2k+1$: $x = \pi(2k+1) - \beta$. При $k=1$: $x = 3\pi - \beta \in [2\pi, 7\pi/2]$.
Остальные значения не попадают в отрезок.
Для первой серии $x = (-1)^{n}\alpha + \pi n$:
При $n = 2k$: $x = \alpha + 2\pi k$. При $k=1$: $x = \alpha + 2\pi \in [2\pi, 7\pi/2]$.
При $n = 2k+1$: $x = \pi(2k+1) - \alpha$. При $k=1$: $x = 3\pi - \alpha \in [2\pi, 7\pi/2]$.
Для второй серии $x = (-1)^{m}\beta + \pi m$:
При $m = 2k+1$: $x = \pi(2k+1) - \beta$. При $k=1$: $x = 3\pi - \beta \in [2\pi, 7\pi/2]$.
Остальные значения не попадают в отрезок.
Шаг 11
Получаем три корня:
$x_{1} = \alpha + 2\pi$, $x_{2} = 3\pi - \alpha$, $x_{3} = 3\pi - \beta$.
Приближённо: $x_{1} \approx 6.884$, $x_{2} \approx 8.824$, $x_{3} \approx 9.817$.
$x_{1} = \alpha + 2\pi$, $x_{2} = 3\pi - \alpha$, $x_{3} = 3\pi - \beta$.
Приближённо: $x_{1} \approx 6.884$, $x_{2} \approx 8.824$, $x_{3} \approx 9.817$.
Окончательный ответ: