Шаг 1
Поскольку $D$ лежит на прямой $AC$, а $E$ на прямой $BC$, прямые $AD$ и $BE$ совпадают с $AC$ и $BC$ соответственно. В $\triangle ABC$ угол $C = 90^\circ$, значит $AC \perp BC$. Следовательно, $AD \perp BE$, а не параллельны. Возможна опечатка в условии, но для части (б) это не требуется.
б) Найти $AE$ при $R=4$, $r=3$
б) Найти $AE$ при $R=4$, $r=3$
Шаг 1
Введём координаты. Поместим $A=(0,0)$, линию центров — ось $x$. Тогда центр меньшей окружности $O_1 = (3,0)$, центр большей $O_2 = (4,0)$ (внутреннее касание: $O_1O_2 = R - r = 1$).
Шаг 2
Уравнения окружностей: меньшая $(x-3)^2 + y^2 = 9$, большая $(x-4)^2 + y^2 = 16$. Пусть $B=(x_B,y_B)$ на меньшей, $C=(x_C,y_C)$ на большей. Условия для $\triangle ABC$: $AC = BC$ и $AC \perp BC$.
Шаг 3
Запишем условия:
1) $AC^2 = BC^2$: $x_C^2 + y_C^2 = (x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2$.
2) $AC \perp BC$: $x_C(x_C - x_B) + y_C(y_C - y_B) = 0$.
Из (2): $x_C^2 + y_C^2 = x_C x_B + y_C y_B$. Подставим в (1):
$-2(x_C x_B + y_C y_B) + x_B^2 + y_B^2 = 0 \Rightarrow x_B^2 + y_B^2 = 2(x_C^2 + y_C^2)$.
1) $AC^2 = BC^2$: $x_C^2 + y_C^2 = (x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2$.
2) $AC \perp BC$: $x_C(x_C - x_B) + y_C(y_C - y_B) = 0$.
Из (2): $x_C^2 + y_C^2 = x_C x_B + y_C y_B$. Подставим в (1):
$-2(x_C x_B + y_C y_B) + x_B^2 + y_B^2 = 0 \Rightarrow x_B^2 + y_B^2 = 2(x_C^2 + y_C^2)$.
Шаг 4
Используем уравнения окружностей. Для $B$: $(x_B-3)^2 + y_B^2 = 9 \Rightarrow x_B^2 + y_B^2 = 6x_B$.
Для $C$: $(x_C-4)^2 + y_C^2 = 16 \Rightarrow x_C^2 + y_C^2 = 8x_C$.
Из $x_B^2 + y_B^2 = 2(x_C^2 + y_C^2)$ получаем $6x_B = 2 \cdot 8x_C \Rightarrow x_B = \frac{8}{3}x_C$.
Для $C$: $(x_C-4)^2 + y_C^2 = 16 \Rightarrow x_C^2 + y_C^2 = 8x_C$.
Из $x_B^2 + y_B^2 = 2(x_C^2 + y_C^2)$ получаем $6x_B = 2 \cdot 8x_C \Rightarrow x_B = \frac{8}{3}x_C$.
Шаг 5
Подставим $x_B = \frac{8}{3}x_C$ в $x_C^2 + y_C^2 = x_C x_B + y_C y_B$:
$x_C^2 + y_C^2 = \frac{8}{3}x_C^2 + y_C y_B \Rightarrow y_C y_B = -\frac{5}{3}x_C^2 + y_C^2$.
Возведём в квадрат: $y_C^2 y_B^2 = \left(-\frac{5}{3}x_C^2 + y_C^2\right)^2$.
Но $y_B^2 = 6x_B - x_B^2 = 16x_C - \frac{64}{9}x_C^2$, и $y_C^2 = 8x_C - x_C^2$.
Подставляем и упрощаем:
$(8x_C - x_C^2)\left(16x_C - \frac{64}{9}x_C^2\right) = \left(-\frac{5}{3}x_C^2 + 8x_C - x_C^2\right)^2$.
После деления на $x_C^2$ и преобразований получаем $x_C = \frac{36}{17}$.
$x_C^2 + y_C^2 = \frac{8}{3}x_C^2 + y_C y_B \Rightarrow y_C y_B = -\frac{5}{3}x_C^2 + y_C^2$.
Возведём в квадрат: $y_C^2 y_B^2 = \left(-\frac{5}{3}x_C^2 + y_C^2\right)^2$.
Но $y_B^2 = 6x_B - x_B^2 = 16x_C - \frac{64}{9}x_C^2$, и $y_C^2 = 8x_C - x_C^2$.
Подставляем и упрощаем:
$(8x_C - x_C^2)\left(16x_C - \frac{64}{9}x_C^2\right) = \left(-\frac{5}{3}x_C^2 + 8x_C - x_C^2\right)^2$.
После деления на $x_C^2$ и преобразований получаем $x_C = \frac{36}{17}$.
Шаг 6
Тогда $x_B = \frac{8}{3} \cdot \frac{36}{17} = \frac{96}{17}$, $y_C^2 = 8x_C - x_C^2 = \frac{3600}{289} \Rightarrow y_C = \frac{60}{17}$, $y_B^2 = 16x_C - \frac{64}{9}x_C^2 = \frac{576}{289} \Rightarrow y_B = \frac{24}{17}$.
Шаг 7
Найдём $E$ — второе пересечение прямой $BC$ с меньшей окружностью. Прямая $BC$: параметрически $x = \frac{96}{17} - 5t$, $y = \frac{24}{17} + 3t$. Подставляем в уравнение меньшей окружности:
$\left(\frac{45}{17} - 5t\right)^2 + \left(\frac{24}{17} + 3t\right)^2 = 9$.
Решаем: $t(9826t - 5202) = 0$. $t=0$ даёт $B$, $t = \frac{9}{17}$ даёт $E = (3, 3)$.
$\left(\frac{45}{17} - 5t\right)^2 + \left(\frac{24}{17} + 3t\right)^2 = 9$.
Решаем: $t(9826t - 5202) = 0$. $t=0$ даёт $B$, $t = \frac{9}{17}$ даёт $E = (3, 3)$.
Шаг 8
$AE = \sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
Окончательный ответ:
$3\sqrt{2} \approx 4.24$