Шаг 1
Даны стороны $PQ = 16$ и $QW = 12$. Вычислим $16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400 = 20^2$.
Шаг 2
Если треугольник $PQW$ прямоугольный, то его гипотенуза $PW = 20$, а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: $R = \frac{20}{2} = 10$.
Шаг 3
По условию радиус описанной окружности равен $10$, а угол $PWQ$ — острый. Это возможно только если треугольник прямоугольный при вершине $Q$, так как гипотенуза $PW$ лежит против прямого угла. Следовательно, $\angle PQW = 90^\circ$.
Шаг 4
Введем удобную систему координат. Поместим $P = (0,0)$, $Q = (16,0)$, так как $PQ = 16$ и $\angle PQW = 90^\circ$. Тогда $W$ лежит на перпендикуляре к $PQ$ в точке $Q$. Из $QW = 12$ получаем $W = (16, 12)$.
Шаг 5
По условию точки делят стороны: $AP:PB = 1:4$, $CQ:QB = 1:4$, $CW:WD = 1:4$. Найдем координаты вершин $A$, $B$, $C$, $D$.
Так как $P$ делит $AB$ в отношении $1:4$, то $A = 5P - 4B$. Зная $P = (0,0)$, положим $B = (5,0)$, тогда $A = (0,0) - 4(5,0) = (-20,0)$? Проверим: $AP:PB = 1:4$ означает $\vec{AP} = \frac{1}{5}\vec{AB}$. От $A$ к $B$: $P = A + \frac{1}{5}(B-A)$. При $P=(0,0)$ и $B=(5,0)$ получаем $A=(-5,0)$? Лучше задать $B$ так, чтобы $P$ был между $A$ и $B$. Пусть $A=(a,0)$, $B=(b,0)$, $P=(0,0)$. Тогда из $AP:PB=1:4$ имеем $0-a = \frac{1}{5}(b-a)$ и $b-0 = \frac{4}{5}(b-a)$. Решая, получаем $a=-1$, $b=4$. Итак, $A=(-1,0)$, $B=(4,0)$, $P=(0,0)$.
Но $PQ=16$, а у нас $Q=(16,0)$, значит $B$ не совпадает с $Q$. Условие $CQ:QB=1:4$ означает, что $Q$ лежит на $CB$ и делит $CB$ в отношении $1:4$ считая от $C$. То есть $\vec{CQ} = \frac{1}{5}\vec{CB}$.
Мы знаем $Q=(16,0)$. Пусть $C=(x_C, y_C)$, $B=(4,0)$. Тогда $\vec{CQ} = (16-x_C, 0-y_C)$, $\vec{CB} = (4-x_C, 0-y_C)$. Из пропорции: $16-x_C = \frac{1}{5}(4-x_C)$ и $-y_C = \frac{1}{5}(-y_C)$. Второе уравнение дает $y_C=0$ или $1=\frac{1}{5}$? Пересмотрим: $\vec{CQ} = \frac{1}{5}\vec{CB}$ означает $Q-C = \frac{1}{5}(B-C)$. Тогда $5(Q-C) = B-C$, откуда $5Q - 5C = B - C$, значит $5Q - B = 4C$, поэтому $C = \frac{5Q - B}{4}$. Подставляем $Q=(16,0)$, $B=(4,0)$: $C = \left( \frac{5\cdot16-4}{4}, \frac{0-0}{4} \right) = \left( \frac{80-4}{4}, 0 \right) = (19,0)$. Но тогда $C$, $Q$, $B$ лежат на оси $x$, а $W=(16,12)$ не на оси, противоречие с выпуклостью? Значит, наше предположение о расположении $A$, $B$, $P$ на оси $x$ неудобно.
Вернемся к шагу 4. Раз треугольник $PQW$ прямоугольный при $Q$, и $PQ=16$, $QW=12$, $PW=20$, можно поместить $P=(0,0)$, $Q=(16,0)$, $W=(16,12)$. Тогда $PW$ — гипотенуза.
Теперь используем условия деления. Пусть $A$ и $B$ лежат на прямой $APB$ с $P$ между ними. $AP:PB=1:4$. Так как $P=(0,0)$, выберем направление. Пусть $B$ лежит на луче $QP$, то есть на отрицательной полуоси $x$, а $A$ — на положительной? Но $PQ$ идет от $P$ к $Q$ вдоль положительной оси $x$. Чтобы $P$ был между $A$ и $B$, один из отрезков $AP$ или $PB$ должен совпадать с $PQ$? Нет, $P$ — общая точка.
Удобнее задать $A$ и $B$ так: поскольку $P$ делит $AB$ в отношении $1:4$, то $\vec{AP} = \frac{1}{5}\vec{AB}$. Пусть $A=(a_x, a_y)$, $B=(b_x, b_y)$. Тогда $P=(0,0) = A + \frac{1}{5}(B-A)$, откуда $5A + B - A = 0$? Правильнее: $P = A + \frac{1}{5}(B-A) \Rightarrow 5P = 5A + B - A = 4A + B$, так что $4A + B = 0$. Аналогично, из $CQ:QB=1:4$: $Q$ делит $CB$ в отношении $1:4$ считая от $C$, то есть $\vec{CQ} = \frac{1}{5}\vec{CB}$. $Q=(16,0)$. $C=(c_x, c_y)$, $B=(b_x, b_y)$. Тогда $Q = C + \frac{1}{5}(B-C) \Rightarrow 5Q = 5C + B - C = 4C + B$, поэтому $4C + B = 5Q = (80,0)$.
Из $CW:WD=1:4$: $W$ делит $CD$ в отношении $1:4$ считая от $C$, то есть $\vec{CW} = \frac{1}{5}\vec{CD}$. $W=(16,12)$, $D=(d_x, d_y)$. Тогда $W = C + \frac{1}{5}(D-C) \Rightarrow 5W = 5C + D - C = 4C + D$, поэтому $4C + D = 5W = (80,60)$.
Имеем уравнения:
(1) $4A + B = 0$
(2) $4C + B = (80,0)$
(3) $4C + D = (80,60)$
Вычтем (1) из (2): $4C - 4A = (80,0) \Rightarrow C - A = (20,0)$. Значит, $C = A + (20,0)$.
Из (1): $B = -4A$.
Из (2): $4C + B = (80,0) \Rightarrow 4(A+(20,0)) + (-4A) = (80,0) \Rightarrow 4A + (80,0) -4A = (80,0)$, тождественно.
Из (3): $4C + D = (80,60) \Rightarrow D = (80,60) - 4C = (80,60) - 4(A+(20,0)) = (80,60) - (4A+(80,0)) = (0,60) - 4A$.
Осталось определить $A$. Четырехугольник $ABCD$ выпуклый. Выберем $A$ так, чтобы фигура была выпуклой и все стороны положительной длины. Попробуем $A=(0,0)$. Тогда $C=(20,0)$, $B=(0,0)$, $D=(0,60)$. Но тогда $B$ совпадает с $A$, не подходит.
Выберем $A=(0, -k)$, чтобы развести вершины. Пусть $A=(0, -5)$. Тогда:
$C = (20, -5)$,
$B = -4A = (0, 20)$,
$D = (0,60) - 4A = (0,60) - (0, -20) = (0,80)$.
Получаем $A=(0,-5)$, $B=(0,20)$, $C=(20,-5)$, $D=(0,80)$. Это не выпуклый четырехугольник? Проверим порядок: $A \to B \to C \to D$. $A=(0,-5)$, $B=(0,20)$ — вертикальный отрезок. $B=(0,20)$ к $C=(20,-5)$ — диагональ. $C=(20,-5)$ к $D=(0,80)$ — диагональ. $D=(0,80)$ к $A=(0,-5)$ — вертикальный. Это похоже на четырехугольник-бант? Не выпуклый.
Нужно выбрать $A$ так, чтобы $ABCD$ был выпуклым. Заметим, что $P$, $Q$, $W$ — точки на сторонах. $P$ на $AB$, $Q$ на $CB$, $W$ на $CD$. В нашем построении $P=(0,0)$ должен лежать на $AB$. Из $AP:PB=1:4$ и $P=(0,0)$, если $A=(a_x,a_y)$, $B=(b_x,b_y)$, то $0 = a_x + \frac{1}{5}(b_x - a_x)$ и аналогично для $y$. Отсюда $b_x = -4a_x$, $b_y = -4a_y$. То есть $B = -4A$. Тогда $A$ и $B$ лежат на одной прямой через начало, с противоположными направлениями. Чтобы $P$ лежал между $A$ и $B$, нужно, чтобы $A$ и $B$ были по разные стороны от $P$. Значит, $A$ и $B$ должны иметь противоположные знаки координат. Если $A$ в первом квадранте, то $B$ в третьем. Но тогда $Q$ на $CB$, а $C$ из уравнения $4C + B = (80,0)$.
Выберем $A=(1,0)$ для простоты. Тогда $B=(-4,0)$. Из $4C + B = (80,0)$ получаем $4C = (80,0) - (-4,0) = (84,0)$, так что $C = (21,0)$. Тогда $D$ из $4C + D = (80,60)$: $D = (80,60) - 4C = (80,60) - (84,0) = (-4,60)$. Вершины: $A=(1,0)$, $B=(-4,0)$, $C=(21,0)$, $D=(-4,60)$. Это вырожденный? $A$, $B$, $C$ на оси $x$, не выпуклый.
Видно, что для неколлинеарности нужно, чтобы $A$ не лежал на оси $x$. Пусть $A=(0,1)$. Тогда $B=(0,-4)$. Из $4C + B = (80,0)$: $4C = (80,0) - (0,-4) = (80,4)$, $C=(20,1)$. Из $4C + D = (80,60)$: $D = (80,60) - 4(20,1) = (80,60) - (80,4) = (0,56)$. Вершины: $A=(0,1)$, $B=(0,-4)$, $C=(20,1)$, $D=(0,56)$. Опять $A$, $B$, $D$ на одной вертикальной прямой, $C$ справа. Это выпуклый? Порядок $A \to B \to C \to D$: $A=(0,1)$, $B=(0,-4)$ — вертикально вниз, $B$ к $C=(20,1)$ — вправо-вверх, $C$ к $D=(0,56)$ — влево-вверх, $D$ к $A$ — вниз. Это выпуклый четырехугольник? Да, похоже на трапецию.
Проверим, что $P=(0,0)$ лежит на $AB$: $A=(0,1)$, $B=(0,-4)$. Отрезок $AB$ вертикальный от $y=1$ до $y=-4$. $P=(0,0)$ действительно лежит на нём и делит в отношении $AP:PB = 1:4$ (расстояния: $AP=1$, $PB=4$). $Q=(16,0)$ лежит на $CB$? $C=(20,1)$, $B=(0,-4)$. Уравнение прямой $CB$: параметрически $B + t(C-B) = (0,-4) + t(20,5)$. При $t$ таком, что $y=0$: $-4 + 5t = 0 \Rightarrow t=0.8$, тогда $x=0+20*0.8=16$. Да, $Q=(16,0)$ соответствует $t=0.8$. Проверим отношение $CQ:QB$. $CQ$ расстояние от $C$ до $Q$: $\sqrt{(20-16)^2+(1-0)^2} = \sqrt{16+1}=\sqrt{17}$. $QB$: $\sqrt{(16-0)^2+(0+4)^2} = \sqrt{256+16}=\sqrt{272}=4\sqrt{17}$. Отношение $CQ:QB = \sqrt{17} : 4\sqrt{17} = 1:4$, верно. $W=(16,12)$ лежит на $CD$? $C=(20,1)$, $D=(0,56)$. Параметрически: $C + s(D-C) = (20,1) + s(-20,55)$. Найдем $s$ для $x=16$: $20 - 20s = 16 \Rightarrow s=0.2$. Тогда $y=1+55*0.2=1+11=12$, верно. Отношение $CW:WD$. $CW$: $\sqrt{(20-16)^2+(1-12)^2} = \sqrt{16+121}=\sqrt{137}$. $WD$: $\sqrt{(16-0)^2+(12-56)^2} = \sqrt{256+1936}=\sqrt{2192}=4\sqrt{137}$. Отношение $1:4$, верно.
Таким образом, координаты: $A=(0,1)$, $B=(0,-4)$, $C=(20,1)$, $D=(0,56)$.
Так как $P$ делит $AB$ в отношении $1:4$, то $A = 5P - 4B$. Зная $P = (0,0)$, положим $B = (5,0)$, тогда $A = (0,0) - 4(5,0) = (-20,0)$? Проверим: $AP:PB = 1:4$ означает $\vec{AP} = \frac{1}{5}\vec{AB}$. От $A$ к $B$: $P = A + \frac{1}{5}(B-A)$. При $P=(0,0)$ и $B=(5,0)$ получаем $A=(-5,0)$? Лучше задать $B$ так, чтобы $P$ был между $A$ и $B$. Пусть $A=(a,0)$, $B=(b,0)$, $P=(0,0)$. Тогда из $AP:PB=1:4$ имеем $0-a = \frac{1}{5}(b-a)$ и $b-0 = \frac{4}{5}(b-a)$. Решая, получаем $a=-1$, $b=4$. Итак, $A=(-1,0)$, $B=(4,0)$, $P=(0,0)$.
Но $PQ=16$, а у нас $Q=(16,0)$, значит $B$ не совпадает с $Q$. Условие $CQ:QB=1:4$ означает, что $Q$ лежит на $CB$ и делит $CB$ в отношении $1:4$ считая от $C$. То есть $\vec{CQ} = \frac{1}{5}\vec{CB}$.
Мы знаем $Q=(16,0)$. Пусть $C=(x_C, y_C)$, $B=(4,0)$. Тогда $\vec{CQ} = (16-x_C, 0-y_C)$, $\vec{CB} = (4-x_C, 0-y_C)$. Из пропорции: $16-x_C = \frac{1}{5}(4-x_C)$ и $-y_C = \frac{1}{5}(-y_C)$. Второе уравнение дает $y_C=0$ или $1=\frac{1}{5}$? Пересмотрим: $\vec{CQ} = \frac{1}{5}\vec{CB}$ означает $Q-C = \frac{1}{5}(B-C)$. Тогда $5(Q-C) = B-C$, откуда $5Q - 5C = B - C$, значит $5Q - B = 4C$, поэтому $C = \frac{5Q - B}{4}$. Подставляем $Q=(16,0)$, $B=(4,0)$: $C = \left( \frac{5\cdot16-4}{4}, \frac{0-0}{4} \right) = \left( \frac{80-4}{4}, 0 \right) = (19,0)$. Но тогда $C$, $Q$, $B$ лежат на оси $x$, а $W=(16,12)$ не на оси, противоречие с выпуклостью? Значит, наше предположение о расположении $A$, $B$, $P$ на оси $x$ неудобно.
Вернемся к шагу 4. Раз треугольник $PQW$ прямоугольный при $Q$, и $PQ=16$, $QW=12$, $PW=20$, можно поместить $P=(0,0)$, $Q=(16,0)$, $W=(16,12)$. Тогда $PW$ — гипотенуза.
Теперь используем условия деления. Пусть $A$ и $B$ лежат на прямой $APB$ с $P$ между ними. $AP:PB=1:4$. Так как $P=(0,0)$, выберем направление. Пусть $B$ лежит на луче $QP$, то есть на отрицательной полуоси $x$, а $A$ — на положительной? Но $PQ$ идет от $P$ к $Q$ вдоль положительной оси $x$. Чтобы $P$ был между $A$ и $B$, один из отрезков $AP$ или $PB$ должен совпадать с $PQ$? Нет, $P$ — общая точка.
Удобнее задать $A$ и $B$ так: поскольку $P$ делит $AB$ в отношении $1:4$, то $\vec{AP} = \frac{1}{5}\vec{AB}$. Пусть $A=(a_x, a_y)$, $B=(b_x, b_y)$. Тогда $P=(0,0) = A + \frac{1}{5}(B-A)$, откуда $5A + B - A = 0$? Правильнее: $P = A + \frac{1}{5}(B-A) \Rightarrow 5P = 5A + B - A = 4A + B$, так что $4A + B = 0$. Аналогично, из $CQ:QB=1:4$: $Q$ делит $CB$ в отношении $1:4$ считая от $C$, то есть $\vec{CQ} = \frac{1}{5}\vec{CB}$. $Q=(16,0)$. $C=(c_x, c_y)$, $B=(b_x, b_y)$. Тогда $Q = C + \frac{1}{5}(B-C) \Rightarrow 5Q = 5C + B - C = 4C + B$, поэтому $4C + B = 5Q = (80,0)$.
Из $CW:WD=1:4$: $W$ делит $CD$ в отношении $1:4$ считая от $C$, то есть $\vec{CW} = \frac{1}{5}\vec{CD}$. $W=(16,12)$, $D=(d_x, d_y)$. Тогда $W = C + \frac{1}{5}(D-C) \Rightarrow 5W = 5C + D - C = 4C + D$, поэтому $4C + D = 5W = (80,60)$.
Имеем уравнения:
(1) $4A + B = 0$
(2) $4C + B = (80,0)$
(3) $4C + D = (80,60)$
Вычтем (1) из (2): $4C - 4A = (80,0) \Rightarrow C - A = (20,0)$. Значит, $C = A + (20,0)$.
Из (1): $B = -4A$.
Из (2): $4C + B = (80,0) \Rightarrow 4(A+(20,0)) + (-4A) = (80,0) \Rightarrow 4A + (80,0) -4A = (80,0)$, тождественно.
Из (3): $4C + D = (80,60) \Rightarrow D = (80,60) - 4C = (80,60) - 4(A+(20,0)) = (80,60) - (4A+(80,0)) = (0,60) - 4A$.
Осталось определить $A$. Четырехугольник $ABCD$ выпуклый. Выберем $A$ так, чтобы фигура была выпуклой и все стороны положительной длины. Попробуем $A=(0,0)$. Тогда $C=(20,0)$, $B=(0,0)$, $D=(0,60)$. Но тогда $B$ совпадает с $A$, не подходит.
Выберем $A=(0, -k)$, чтобы развести вершины. Пусть $A=(0, -5)$. Тогда:
$C = (20, -5)$,
$B = -4A = (0, 20)$,
$D = (0,60) - 4A = (0,60) - (0, -20) = (0,80)$.
Получаем $A=(0,-5)$, $B=(0,20)$, $C=(20,-5)$, $D=(0,80)$. Это не выпуклый четырехугольник? Проверим порядок: $A \to B \to C \to D$. $A=(0,-5)$, $B=(0,20)$ — вертикальный отрезок. $B=(0,20)$ к $C=(20,-5)$ — диагональ. $C=(20,-5)$ к $D=(0,80)$ — диагональ. $D=(0,80)$ к $A=(0,-5)$ — вертикальный. Это похоже на четырехугольник-бант? Не выпуклый.
Нужно выбрать $A$ так, чтобы $ABCD$ был выпуклым. Заметим, что $P$, $Q$, $W$ — точки на сторонах. $P$ на $AB$, $Q$ на $CB$, $W$ на $CD$. В нашем построении $P=(0,0)$ должен лежать на $AB$. Из $AP:PB=1:4$ и $P=(0,0)$, если $A=(a_x,a_y)$, $B=(b_x,b_y)$, то $0 = a_x + \frac{1}{5}(b_x - a_x)$ и аналогично для $y$. Отсюда $b_x = -4a_x$, $b_y = -4a_y$. То есть $B = -4A$. Тогда $A$ и $B$ лежат на одной прямой через начало, с противоположными направлениями. Чтобы $P$ лежал между $A$ и $B$, нужно, чтобы $A$ и $B$ были по разные стороны от $P$. Значит, $A$ и $B$ должны иметь противоположные знаки координат. Если $A$ в первом квадранте, то $B$ в третьем. Но тогда $Q$ на $CB$, а $C$ из уравнения $4C + B = (80,0)$.
Выберем $A=(1,0)$ для простоты. Тогда $B=(-4,0)$. Из $4C + B = (80,0)$ получаем $4C = (80,0) - (-4,0) = (84,0)$, так что $C = (21,0)$. Тогда $D$ из $4C + D = (80,60)$: $D = (80,60) - 4C = (80,60) - (84,0) = (-4,60)$. Вершины: $A=(1,0)$, $B=(-4,0)$, $C=(21,0)$, $D=(-4,60)$. Это вырожденный? $A$, $B$, $C$ на оси $x$, не выпуклый.
Видно, что для неколлинеарности нужно, чтобы $A$ не лежал на оси $x$. Пусть $A=(0,1)$. Тогда $B=(0,-4)$. Из $4C + B = (80,0)$: $4C = (80,0) - (0,-4) = (80,4)$, $C=(20,1)$. Из $4C + D = (80,60)$: $D = (80,60) - 4(20,1) = (80,60) - (80,4) = (0,56)$. Вершины: $A=(0,1)$, $B=(0,-4)$, $C=(20,1)$, $D=(0,56)$. Опять $A$, $B$, $D$ на одной вертикальной прямой, $C$ справа. Это выпуклый? Порядок $A \to B \to C \to D$: $A=(0,1)$, $B=(0,-4)$ — вертикально вниз, $B$ к $C=(20,1)$ — вправо-вверх, $C$ к $D=(0,56)$ — влево-вверх, $D$ к $A$ — вниз. Это выпуклый четырехугольник? Да, похоже на трапецию.
Проверим, что $P=(0,0)$ лежит на $AB$: $A=(0,1)$, $B=(0,-4)$. Отрезок $AB$ вертикальный от $y=1$ до $y=-4$. $P=(0,0)$ действительно лежит на нём и делит в отношении $AP:PB = 1:4$ (расстояния: $AP=1$, $PB=4$). $Q=(16,0)$ лежит на $CB$? $C=(20,1)$, $B=(0,-4)$. Уравнение прямой $CB$: параметрически $B + t(C-B) = (0,-4) + t(20,5)$. При $t$ таком, что $y=0$: $-4 + 5t = 0 \Rightarrow t=0.8$, тогда $x=0+20*0.8=16$. Да, $Q=(16,0)$ соответствует $t=0.8$. Проверим отношение $CQ:QB$. $CQ$ расстояние от $C$ до $Q$: $\sqrt{(20-16)^2+(1-0)^2} = \sqrt{16+1}=\sqrt{17}$. $QB$: $\sqrt{(16-0)^2+(0+4)^2} = \sqrt{256+16}=\sqrt{272}=4\sqrt{17}$. Отношение $CQ:QB = \sqrt{17} : 4\sqrt{17} = 1:4$, верно. $W=(16,12)$ лежит на $CD$? $C=(20,1)$, $D=(0,56)$. Параметрически: $C + s(D-C) = (20,1) + s(-20,55)$. Найдем $s$ для $x=16$: $20 - 20s = 16 \Rightarrow s=0.2$. Тогда $y=1+55*0.2=1+11=12$, верно. Отношение $CW:WD$. $CW$: $\sqrt{(20-16)^2+(1-12)^2} = \sqrt{16+121}=\sqrt{137}$. $WD$: $\sqrt{(16-0)^2+(12-56)^2} = \sqrt{256+1936}=\sqrt{2192}=4\sqrt{137}$. Отношение $1:4$, верно.
Таким образом, координаты: $A=(0,1)$, $B=(0,-4)$, $C=(20,1)$, $D=(0,56)$.
Шаг 6
Найдем площадь четырехугольника $ABCD$. Используем формулу площади многоугольника по координатам вершин в порядке обхода:
$S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|$.
Возьмем порядок $A \to B \to C \to D \to A$.
$A=(0,1)$, $B=(0,-4)$, $C=(20,1)$, $D=(0,56)$.
Вычислим:
$x_A y_B = 0 \cdot (-4) = 0$
$x_B y_C = 0 \cdot 1 = 0$
$x_C y_D = 20 \cdot 56 = 1120$
$x_D y_A = 0 \cdot 1 = 0$
Сумма: $0+0+1120+0 = 1120$.
Теперь:
$x_B y_A = 0 \cdot 1 = 0$
$x_C y_B = 20 \cdot (-4) = -80$
$x_D y_C = 0 \cdot 1 = 0$
$x_A y_D = 0 \cdot 56 = 0$
Сумма: $0 + (-80) + 0 + 0 = -80$.
Разность: $1120 - (-80) = 1200$.
Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 1200 = 600$.
$S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|$.
Возьмем порядок $A \to B \to C \to D \to A$.
$A=(0,1)$, $B=(0,-4)$, $C=(20,1)$, $D=(0,56)$.
Вычислим:
$x_A y_B = 0 \cdot (-4) = 0$
$x_B y_C = 0 \cdot 1 = 0$
$x_C y_D = 20 \cdot 56 = 1120$
$x_D y_A = 0 \cdot 1 = 0$
Сумма: $0+0+1120+0 = 1120$.
Теперь:
$x_B y_A = 0 \cdot 1 = 0$
$x_C y_B = 20 \cdot (-4) = -80$
$x_D y_C = 0 \cdot 1 = 0$
$x_A y_D = 0 \cdot 56 = 0$
Сумма: $0 + (-80) + 0 + 0 = -80$.
Разность: $1120 - (-80) = 1200$.
Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 1200 = 600$.
Результат:
Площадь $ABCD$ равна $600$.
Окончательный ответ:
600