Шаг 1
Проверка возможности 5 чисел.
Рассмотрим числа 8, 9, 10, 11, 12. Наименьшее произведение: $8 \cdot 9 = 72 > 60$. Наибольшее произведение: $11 \cdot 12 = 132 < 140$. Все пары удовлетворяют условию.
Рассмотрим числа 8, 9, 10, 11, 12. Наименьшее произведение: $8 \cdot 9 = 72 > 60$. Наибольшее произведение: $11 \cdot 12 = 132 < 140$. Все пары удовлетворяют условию.
Результат:
5 чисел возможны.
Шаг 2
Проверка возможности 6 чисел.
Пусть числа упорядочены: $a < b < c < d < e < f$. Для любых двух чисел должно выполняться $60 < xy < 140$. В частности, для двух наибольших чисел: $e \cdot f < 140$. Так как числа натуральные и различные, минимальные возможные значения для них: $e=7$, $f=8$ (но тогда $e \cdot f = 56$, что не подходит). Чтобы произведение было больше 60, нужно брать большие числа. Однако, если $e$ и $f$ достаточно велики, чтобы $e \cdot f > 60$, то их произведение может превысить 140. Например, если $e=12$, $f=13$, то $e \cdot f = 156 > 140$. Более того, для шести различных чисел, удовлетворяющих условию, они должны быть достаточно близки. Но тогда произведение двух наименьших может оказаться $\leq 60$, а двух наибольших $\geq 140$. Систематическая проверка показывает противоречие.
Пусть числа упорядочены: $a < b < c < d < e < f$. Для любых двух чисел должно выполняться $60 < xy < 140$. В частности, для двух наибольших чисел: $e \cdot f < 140$. Так как числа натуральные и различные, минимальные возможные значения для них: $e=7$, $f=8$ (но тогда $e \cdot f = 56$, что не подходит). Чтобы произведение было больше 60, нужно брать большие числа. Однако, если $e$ и $f$ достаточно велики, чтобы $e \cdot f > 60$, то их произведение может превысить 140. Например, если $e=12$, $f=13$, то $e \cdot f = 156 > 140$. Более того, для шести различных чисел, удовлетворяющих условию, они должны быть достаточно близки. Но тогда произведение двух наименьших может оказаться $\leq 60$, а двух наибольших $\geq 140$. Систематическая проверка показывает противоречие.
Результат:
6 чисел невозможны.
Шаг 3
Поиск 4 чисел с минимальной суммой.
Нужно найти четыре различных натуральных числа, такие что произведение любых двух больше 60 и меньше 140. Чтобы сумма была минимальной, числа должны быть как можно меньше. Проверим кандидатов: $7, 9, 10, 11$.
Проверка произведений:
$7 \cdot 9 = 63 > 60$, $7 \cdot 10 = 70$, $7 \cdot 11 = 77$, $9 \cdot 10 = 90$, $9 \cdot 11 = 99$, $10 \cdot 11 = 110 < 140$.
Все условия выполнены. Сумма равна $7+9+10+11=37$. Меньшую сумму получить нельзя, так как если взять число 8 вместо одного из них, например, $7, 8, 10, 11$, то $7 \cdot 8 = 56 < 60$ — не подходит.
Нужно найти четыре различных натуральных числа, такие что произведение любых двух больше 60 и меньше 140. Чтобы сумма была минимальной, числа должны быть как можно меньше. Проверим кандидатов: $7, 9, 10, 11$.
Проверка произведений:
$7 \cdot 9 = 63 > 60$, $7 \cdot 10 = 70$, $7 \cdot 11 = 77$, $9 \cdot 10 = 90$, $9 \cdot 11 = 99$, $10 \cdot 11 = 110 < 140$.
Все условия выполнены. Сумма равна $7+9+10+11=37$. Меньшую сумму получить нельзя, так как если взять число 8 вместо одного из них, например, $7, 8, 10, 11$, то $7 \cdot 8 = 56 < 60$ — не подходит.
Результат:
Минимальная сумма равна 37.
Окончательный ответ:
а) Да, б) Нет, в) 37