Шаг 1
Пусть числа по возрастанию: $a_1 < a_2 < \ldots < a_{11}$.
Сумма шести наименьших: $a_1 + \ldots + a_6 = 6 \cdot 5 = 30$.
Сумма шести наибольших: $a_6 + \ldots + a_{11} = 6 \cdot 15 = 90$.
Сумма всех одиннадцати чисел: $(a_1+\ldots+a_6) + (a_6+\ldots+a_{11}) - a_6 = 30 + 90 - a_6 = 120 - a_6$.
а) Если $a_1 = 3$, то $a_2 \ge 4$, $a_3 \ge 5$, $a_4 \ge 6$, $a_5 \ge 7$. Их сумма $a_1+\ldots+a_5 \ge 3+4+5+6+7 = 25$. Тогда $a_6 = 30 - (a_1+\ldots+a_5) \le 5$. Но $a_6 > a_5 \ge 7$, противоречие. Значит, нет.
б) Среднее всех чисел $S = \frac{120 - a_6}{11}$. Если $S = 9$, то $120 - a_6 = 99 \Rightarrow a_6 = 21$.
Тогда сумма пяти наименьших $a_1+\ldots+a_5 = 30 - a_6 = 9$. Но пять различных натуральных чисел дают минимум $1+2+3+4+5=15 > 9$, противоречие. Значит, нет.
в) Пусть $B = a_6$. Тогда $S = \frac{120 - B}{11}$ и $S - B = \frac{120 - B}{11} - B = \frac{120 - 12B}{11}$.
Это выражение убывает с ростом $B$, поэтому его максимум достигается при минимальном возможном $B$.
Из условия $a_1+\ldots+a_5 = 30 - B$ и $a_7+\ldots+a_{11} = 90 - B$.
Минимальная сумма пяти наименьших: $a_1+\ldots+a_5 \ge 1+2+3+4+5 = 15 \Rightarrow 30 - B \ge 15 \Rightarrow B \le 15$.
Минимальная сумма пяти наибольших (начиная с $a_7$): $a_7+\ldots+a_{11} \ge (B+1)+(B+2)+\ldots+(B+5) = 5B+15 \Rightarrow 90 - B \ge 5B+15 \Rightarrow 75 \ge 6B \Rightarrow B \le 12.5$, значит $B \le 12$.
Также $B > a_5$, и при $B=8$ можно построить пример: $a_1=1, a_2=2, a_3=3, a_4=4, a_5=12, a_6=8, a_7=9, a_8=10, a_9=11, a_{10}=13, a_{11}=39$ (проверка сумм: $1+2+3+4+12+8=30$, $8+9+10+11+13+39=90$). Значит, минимальное возможное $B=8$.
Тогда максимальное $S-B = \frac{120 - 12 \cdot 8}{11} = \frac{120 - 96}{11} = \frac{24}{11}$.
Сумма шести наименьших: $a_1 + \ldots + a_6 = 6 \cdot 5 = 30$.
Сумма шести наибольших: $a_6 + \ldots + a_{11} = 6 \cdot 15 = 90$.
Сумма всех одиннадцати чисел: $(a_1+\ldots+a_6) + (a_6+\ldots+a_{11}) - a_6 = 30 + 90 - a_6 = 120 - a_6$.
а) Если $a_1 = 3$, то $a_2 \ge 4$, $a_3 \ge 5$, $a_4 \ge 6$, $a_5 \ge 7$. Их сумма $a_1+\ldots+a_5 \ge 3+4+5+6+7 = 25$. Тогда $a_6 = 30 - (a_1+\ldots+a_5) \le 5$. Но $a_6 > a_5 \ge 7$, противоречие. Значит, нет.
б) Среднее всех чисел $S = \frac{120 - a_6}{11}$. Если $S = 9$, то $120 - a_6 = 99 \Rightarrow a_6 = 21$.
Тогда сумма пяти наименьших $a_1+\ldots+a_5 = 30 - a_6 = 9$. Но пять различных натуральных чисел дают минимум $1+2+3+4+5=15 > 9$, противоречие. Значит, нет.
в) Пусть $B = a_6$. Тогда $S = \frac{120 - B}{11}$ и $S - B = \frac{120 - B}{11} - B = \frac{120 - 12B}{11}$.
Это выражение убывает с ростом $B$, поэтому его максимум достигается при минимальном возможном $B$.
Из условия $a_1+\ldots+a_5 = 30 - B$ и $a_7+\ldots+a_{11} = 90 - B$.
Минимальная сумма пяти наименьших: $a_1+\ldots+a_5 \ge 1+2+3+4+5 = 15 \Rightarrow 30 - B \ge 15 \Rightarrow B \le 15$.
Минимальная сумма пяти наибольших (начиная с $a_7$): $a_7+\ldots+a_{11} \ge (B+1)+(B+2)+\ldots+(B+5) = 5B+15 \Rightarrow 90 - B \ge 5B+15 \Rightarrow 75 \ge 6B \Rightarrow B \le 12.5$, значит $B \le 12$.
Также $B > a_5$, и при $B=8$ можно построить пример: $a_1=1, a_2=2, a_3=3, a_4=4, a_5=12, a_6=8, a_7=9, a_8=10, a_9=11, a_{10}=13, a_{11}=39$ (проверка сумм: $1+2+3+4+12+8=30$, $8+9+10+11+13+39=90$). Значит, минимальное возможное $B=8$.
Тогда максимальное $S-B = \frac{120 - 12 \cdot 8}{11} = \frac{120 - 96}{11} = \frac{24}{11}$.
Окончательный ответ:
а) Нет, б) Нет, в) $\frac{24}{11}$