Шаг 1
Введем замену $t = 3x + |x-a| + |2x + a + 1|$. Тогда уравнение принимает вид $t^2 - a t + a^2 - 16 = 0$.
Результат:
Исходная задача сводится к исследованию системы: квадратное уравнение относительно $t$ должно иметь ровно один корень $t_0$, и уравнение $t(x) = t_0$ должно иметь ровно одно решение $x$.
Шаг 2
Анализ квадратного уравнения $t^2 - a t + a^2 - 16 = 0$. Дискриминант: $D = a^2 - 4(a^2 - 16) = 64 - 3a^2$.
Корни: $t_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{64 - 3a^2}}{2}$.
- Один корень $t_0 = \frac{a}{2}$ при $D = 0$, т.е. $64 - 3a^2 = 0 \Rightarrow a = \pm \frac{8}{\sqrt{3}}$.
- Два различных корня $t_1 \neq t_2$ при $D > 0$, т.е. $|a| < \frac{8}{\sqrt{3}}$.
- Нет корней при $D < 0$, т.е. $|a| > \frac{8}{\sqrt{3}}$.
Корни: $t_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{64 - 3a^2}}{2}$.
Результат:
- Один корень $t_0 = \frac{a}{2}$ при $D = 0$, т.е. $64 - 3a^2 = 0 \Rightarrow a = \pm \frac{8}{\sqrt{3}}$.
- Два различных корня $t_1 \neq t_2$ при $D > 0$, т.е. $|a| < \frac{8}{\sqrt{3}}$.
- Нет корней при $D < 0$, т.е. $|a| > \frac{8}{\sqrt{3}}$.
Шаг 3
Исследуем функцию $t(x) = 3x + |x-a| + |2x + a + 1|$. Критические точки: $x_1 = a$, $x_2 = -\frac{a+1}{2}$.
Рассмотрим случаи расположения точек $a$ и $-\frac{a+1}{2}$.
Случай 1: $a < -\frac{a+1}{2} \Rightarrow a < -\frac{1}{3}$.
- При $x \leq a$: $t(x) = -1$.
- При $a < x \leq -\frac{a+1}{2}$: $t(x) = 2x - 2a - 1$.
- При $x > -\frac{a+1}{2}$: $t(x) = 6x + 1$.
Случай 2: $a = -\frac{a+1}{2} \Rightarrow a = -\frac{1}{3}$.
- При $x \leq -\frac{1}{3}$: $t(x) = -1$.
- При $x > -\frac{1}{3}$: $t(x) = 6x + 1$.
Случай 3: $a > -\frac{a+1}{2} \Rightarrow a > -\frac{1}{3}$.
- При $x \leq -\frac{a+1}{2}$: $t(x) = -1$.
- При $-\frac{a+1}{2} < x \leq a$: $t(x) = 4x + 2a + 1$.
- При $x > a$: $t(x) = 6x + 1$.
Рассмотрим случаи расположения точек $a$ и $-\frac{a+1}{2}$.
Случай 1: $a < -\frac{a+1}{2} \Rightarrow a < -\frac{1}{3}$.
- При $x \leq a$: $t(x) = -1$.
- При $a < x \leq -\frac{a+1}{2}$: $t(x) = 2x - 2a - 1$.
- При $x > -\frac{a+1}{2}$: $t(x) = 6x + 1$.
Случай 2: $a = -\frac{a+1}{2} \Rightarrow a = -\frac{1}{3}$.
- При $x \leq -\frac{1}{3}$: $t(x) = -1$.
- При $x > -\frac{1}{3}$: $t(x) = 6x + 1$.
Случай 3: $a > -\frac{a+1}{2} \Rightarrow a > -\frac{1}{3}$.
- При $x \leq -\frac{a+1}{2}$: $t(x) = -1$.
- При $-\frac{a+1}{2} < x \leq a$: $t(x) = 4x + 2a + 1$.
- При $x > a$: $t(x) = 6x + 1$.
Результат:
Функция $t(x)$ кусочно-линейна, монотонно неубывает на всей числовой прямой. Минимальное значение $t_{\text{min}} = -1$ достигается на левом луче $x \leq \min\left(a, -\frac{a+1}{2}\right)$.
Шаг 4
Условие "исходное уравнение имеет ровно один корень" означает, что существует ровно одно значение $x$, для которого $t(x)$ совпадает с одним из корней квадратного уравнения.
Подслучай A: $D = 0$, $a = \pm \frac{8}{\sqrt{3}}$. Тогда квадратное уравнение имеет один корень $t_0 = \frac{a}{2}$.
При $a = \frac{8}{\sqrt{3}} > -\frac{1}{3}$: $t_{\text{min}} = -1$, $t(x)$ строго возрастает от $-1$ до $+\infty$. Уравнение $t(x) = \frac{a}{2} > -1$ имеет ровно одно решение.
При $a = -\frac{8}{\sqrt{3}} < -\frac{1}{3}$: $\frac{a}{2} < -1 = t_{\text{min}}$, решений нет.
Подслучай B: $D > 0$, $|a| < \frac{8}{\sqrt{3}}$. Тогда квадратное уравнение имеет два различных корня $t_1$ и $t_2$.
Поскольку $t(x)$ монотонна, она может принимать каждое значение не более двух раз. Бесконечно много раз значение достигается только при $t = -1$ (на левом луче).
Рассмотрим, когда корень равен $-1$. Подставим $t = -1$ в квадратное уравнение: $1 + a + a^2 - 16 = 0 \Rightarrow a^2 + a - 15 = 0$.
Корни: $a = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{2}$. Оба лежат в интервале $|a| < \frac{8}{\sqrt{3}}$.
При этих $a$ один корень $t_1 = -1$, второй $t_2 = a + 1$ (по теореме Виета). Уравнение $t(x) = -1$ имеет бесконечно много решений. Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, нужно, чтобы $t_2$ не достигался, т.е. $t_2 < -1 \Rightarrow a < -2$.
Для $a = \frac{-1 - \sqrt{61}}{2} \approx -4.41 < -2$: $t_2 < -1$, не достигается, но $t_1 = -1$ дает бесконечно много решений — не подходит.
Для $a = \frac{-1 + \sqrt{61}}{2} \approx 3.41 > -2$: $t_2 > -1$, достигается, и $t_1 = -1$ дает бесконечно много решений — не подходит.
Значит, ни одно из значений $a = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{2}$ не дает ровно одного корня.
Теперь случай, когда ни один корень не равен $-1$. Чтобы было ровно одно решение, нужно, чтобы ровно один корень достигался ровно один раз, а второй не достигался.
Множество значений $t(x)$: $[-1, +\infty)$. Корень не достигается, если $t < -1$.
Условие: ровно один корень меньше $-1$, а второй больше $-1$. Это эквивалентно тому, что $-1$ лежит между корнями, т.е. $f(-1) < 0$, где $f(t) = t^2 - a t + a^2 - 16$.
$f(-1) = a^2 + a - 15 < 0 \Rightarrow a \in \left( \frac{-1 - \sqrt{61}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{61}}{2} \right)$.
В этом случае $t_1 < -1$ (не достигается), $t_2 > -1$ (достигается ровно один раз, так как $t(x)$ строго возрастает при $t > -1$).
Границы интервала не включаем, так как при $a = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{2}$ один корень равен $-1$, что дает бесконечно много решений.
Подслучай A: $D = 0$, $a = \pm \frac{8}{\sqrt{3}}$. Тогда квадратное уравнение имеет один корень $t_0 = \frac{a}{2}$.
При $a = \frac{8}{\sqrt{3}} > -\frac{1}{3}$: $t_{\text{min}} = -1$, $t(x)$ строго возрастает от $-1$ до $+\infty$. Уравнение $t(x) = \frac{a}{2} > -1$ имеет ровно одно решение.
При $a = -\frac{8}{\sqrt{3}} < -\frac{1}{3}$: $\frac{a}{2} < -1 = t_{\text{min}}$, решений нет.
Результат:
$a = \frac{8}{\sqrt{3}}$ подходит, $a = -\frac{8}{\sqrt{3}}$ не подходит.
Подслучай B: $D > 0$, $|a| < \frac{8}{\sqrt{3}}$. Тогда квадратное уравнение имеет два различных корня $t_1$ и $t_2$.
Поскольку $t(x)$ монотонна, она может принимать каждое значение не более двух раз. Бесконечно много раз значение достигается только при $t = -1$ (на левом луче).
Рассмотрим, когда корень равен $-1$. Подставим $t = -1$ в квадратное уравнение: $1 + a + a^2 - 16 = 0 \Rightarrow a^2 + a - 15 = 0$.
Корни: $a = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{2}$. Оба лежат в интервале $|a| < \frac{8}{\sqrt{3}}$.
При этих $a$ один корень $t_1 = -1$, второй $t_2 = a + 1$ (по теореме Виета). Уравнение $t(x) = -1$ имеет бесконечно много решений. Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, нужно, чтобы $t_2$ не достигался, т.е. $t_2 < -1 \Rightarrow a < -2$.
Для $a = \frac{-1 - \sqrt{61}}{2} \approx -4.41 < -2$: $t_2 < -1$, не достигается, но $t_1 = -1$ дает бесконечно много решений — не подходит.
Для $a = \frac{-1 + \sqrt{61}}{2} \approx 3.41 > -2$: $t_2 > -1$, достигается, и $t_1 = -1$ дает бесконечно много решений — не подходит.
Значит, ни одно из значений $a = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{2}$ не дает ровно одного корня.
Теперь случай, когда ни один корень не равен $-1$. Чтобы было ровно одно решение, нужно, чтобы ровно один корень достигался ровно один раз, а второй не достигался.
Множество значений $t(x)$: $[-1, +\infty)$. Корень не достигается, если $t < -1$.
Условие: ровно один корень меньше $-1$, а второй больше $-1$. Это эквивалентно тому, что $-1$ лежит между корнями, т.е. $f(-1) < 0$, где $f(t) = t^2 - a t + a^2 - 16$.
$f(-1) = a^2 + a - 15 < 0 \Rightarrow a \in \left( \frac{-1 - \sqrt{61}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{61}}{2} \right)$.
В этом случае $t_1 < -1$ (не достигается), $t_2 > -1$ (достигается ровно один раз, так как $t(x)$ строго возрастает при $t > -1$).
Границы интервала не включаем, так как при $a = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{2}$ один корень равен $-1$, что дает бесконечно много решений.
Шаг 5
Объединим найденные значения.
Окончательный ответ:
$a \in \left( \frac{-1 - \sqrt{61}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{61}}{2} \right) \cup \left\{ \frac{8}{\sqrt{3}} \right\}$.