Шаг 1
Введем систему координат. Поместим точку A в (0,0), а точку D в (23,0). Так как трапеция равнобедренная и диагонали перпендикулярны, ее высота равна среднему геометрическому половин оснований: $h = \sqrt{(23/2) \cdot (7/2)} = 15$. Тогда координаты: B(8,15), C(15,15).
Шаг 2
Найдем боковую сторону: $AB = CD = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17$.
Шаг 3
Окружность с диаметром AD имеет центр $O_1(11.5, 0)$ и радиус $R_1 = 11.5$. Ее уравнение: $(x - 11.5)^2 + y^2 = 11.5^2$. Параметризуем сторону CD: $x = 23 - 8t$, $y = 15t$, $0 \le t \le 1$. Подставляем в уравнение окружности: $(23 - 8t - 11.5)^2 + (15t)^2 = 11.5^2$. Упрощаем: $(11.5 - 8t)^2 + 225t^2 = 132.25$. Получаем $289t^2 - 184t = 0$, откуда $t = 184/289$ (t=0 соответствует точке D). Координаты M: $x_M = 23 - 8 \cdot \frac{184}{289} = \frac{4335}{289}$, $y_M = 15 \cdot \frac{184}{289} = \frac{2760}{289}$.
Шаг 4
Окружность с диаметром CD имеет центр $O_2(19, 7.5)$ и радиус $R_2 = 8.5$. Ее уравнение: $(x - 19)^2 + (y - 7.5)^2 = 8.5^2$. Найдем пересечение с основанием AD (y=0): $(x - 19)^2 + 56.25 = 72.25$, откуда $(x - 19)^2 = 16$. Так как точка N лежит между A и D, берем $x = 15$. Значит, N(15,0).
Шаг 5
Найдем точку P пересечения прямых AM и CN. Прямая AM проходит через A(0,0) и M. Ее угловой коэффициент: $k_{AM} = y_M / x_M = \frac{2760}{4335} = \frac{8}{15}$. Уравнение AM: $y = \frac{8}{15}x$. Прямая CN проходит через C(15,15) и N(15,0) - это вертикальная прямая $x = 15$. Подставляем $x=15$ в уравнение AM: $y = \frac{8}{15} \cdot 15 = 8$. Получаем P(15,8).
Шаг 6
Проверим условие вписанной окружности для четырехугольника ABCP. Стороны: $AB = 17$, $BC = 7$, $CP = \sqrt{(15-15)^2 + (15-8)^2} = 7$, $PA = \sqrt{(15-0)^2 + (8-0)^2} = 17$. Получаем $AB + CP = 17 + 7 = 24$ и $BC + PA = 7 + 17 = 24$. Равенство сумм противоположных сторон доказывает, что в ABCP можно вписать окружность.
Шаг 7
Найдем радиус вписанной окружности. Площадь S четырехугольника ABCP найдем как сумму площадей треугольников ABC и APC. Площадь треугольника ABC: $\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 15 = 52.5$. Площадь треугольника APC: $\frac{1}{2} \cdot |(0 \cdot 8 + 15 \cdot 0 + 15 \cdot 8) - (0 \cdot 15 + 8 \cdot 15 + 8 \cdot 0)| = \frac{1}{2} \cdot |120 - 120| = 0$? Вычислим верно: $\frac{1}{2} |x_A(y_C - y_P) + x_C(y_P - y_A) + x_P(y_A - y_C)| = \frac{1}{2} |0 \cdot (15-8) + 15 \cdot (8-0) + 15 \cdot (0-15)| = \frac{1}{2} |0 + 120 - 225| = \frac{1}{2} \cdot 105 = 52.5$. Тогда $S = 52.5 + 52.5 = 105$. Полупериметр $p = 24$. Радиус $r = S/p = 105/24 = 35/8$.
Окончательный ответ:
$\frac{35}{8}$