Шаг 1
Обозначим долг на 15-е число месяца как $A_k$, где $k$ — номер месяца после взятия кредита. Начальный долг: $A_0 = 1100$ тысяч рублей.
Шаг 2
По условию, с 1-го по 30-й месяц долг каждый месяц уменьшается на одну и ту же сумму $R$. Поэтому $A_k = A_{k-1} - R = 1100 - kR$.
Шаг 3
В каждом месяце с 1-го по 30-й происходит следующее:
1-го числа долг увеличивается на $2\%$: становится $1.02A_{k-1}$.
Затем, со 2-го по 14-е число, выплачивается сумма, чтобы долг на 15-е число стал равен $A_k = A_{k-1} - R$.
Значит, выплата в месяце $k$ равна: $1.02A_{k-1} - (A_{k-1} - R) = 0.02A_{k-1} + R$.
1-го числа долг увеличивается на $2\%$: становится $1.02A_{k-1}$.
Затем, со 2-го по 14-е число, выплачивается сумма, чтобы долг на 15-е число стал равен $A_k = A_{k-1} - R$.
Значит, выплата в месяце $k$ равна: $1.02A_{k-1} - (A_{k-1} - R) = 0.02A_{k-1} + R$.
Шаг 4
В 31-м месяце долг на 1-е число: $1.02A_{30}$. Его полностью выплачивают, так как кредит должен быть погашен.
Шаг 5
Общая сумма всех выплат по условию равна 1503. Суммируем:
Выплаты за первые 30 месяцев: $\sum_{k=1}^{30} (0.02A_{k-1} + R)$.
Выплата в 31-м месяце: $1.02A_{30}$.
Получаем уравнение: $0.02 \sum_{k=1}^{30} A_{k-1} + 30R + 1.02A_{30} = 1503$.
Выплаты за первые 30 месяцев: $\sum_{k=1}^{30} (0.02A_{k-1} + R)$.
Выплата в 31-м месяце: $1.02A_{30}$.
Получаем уравнение: $0.02 \sum_{k=1}^{30} A_{k-1} + 30R + 1.02A_{30} = 1503$.
Шаг 6
Так как $A_{k-1} = 1100 - (k-1)R$, сумма арифметической прогрессии:
$\sum_{k=1}^{30} A_{k-1} = \sum_{m=0}^{29} (1100 - mR) = 30 \cdot 1100 - R \cdot \frac{29 \cdot 30}{2} = 33000 - 435R$.
$\sum_{k=1}^{30} A_{k-1} = \sum_{m=0}^{29} (1100 - mR) = 30 \cdot 1100 - R \cdot \frac{29 \cdot 30}{2} = 33000 - 435R$.
Шаг 7
Подставляем $A_{30} = 1100 - 30R$ и сумму из шага 6 в уравнение:
$0.02(33000 - 435R) + 30R + 1.02(1100 - 30R) = 1503$.
$0.02(33000 - 435R) + 30R + 1.02(1100 - 30R) = 1503$.
Шаг 8
Упрощаем:
$660 - 8.7R + 30R + 1122 - 30.6R = 1503$,
$1782 - 9.3R = 1503$,
$9.3R = 279$,
$R = 30$.
$660 - 8.7R + 30R + 1122 - 30.6R = 1503$,
$1782 - 9.3R = 1503$,
$9.3R = 279$,
$R = 30$.
Шаг 9
Находим долг на 15-е число 30-го месяца:
$A_{30} = 1100 - 30 \cdot 30 = 200$ тысяч рублей.
$A_{30} = 1100 - 30 \cdot 30 = 200$ тысяч рублей.
Окончательный ответ:
200