а) Доказательство подобия $\triangle AEM \sim \triangle CMK$
Шаг 1: Так как $E$ и $K$ лежат на серединном перпендикуляре к $BM$, то $EB = EM$ и $KB = KM$. Значит, $\triangle BEM$ и $\triangle BKM$ равнобедренные.
Шаг 2: В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$: $\angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^\circ$.
Шаг 3: Обозначим $\angle EBM = x$. В равнобедренном $\triangle BEM$: $\angle EBM = \angle EMB = x$. Тогда $\angle BEM = 180^\circ - 2x$.
Шаг 4: Точка $E$ лежит на $AB$, поэтому $\angle AEM$ и $\angle BEM$ — смежные: $\angle AEM = 180^\circ - \angle BEM = 180^\circ - (180^\circ - 2x) = 2x$.
Шаг 5: В $\triangle AEM$: $\angle EAM = 60^\circ$, $\angle AEM = 2x$, тогда $\angle EMA = 180^\circ - 60^\circ - 2x = 120^\circ - 2x$.
Шаг 6: Обозначим $\angle KBM = y$. В равнобедренном $\triangle BKM$: $\angle KBM = \angle KMB = y$, тогда $\angle BKM = 180^\circ - 2y$.
Шаг 7: Точка $K$ лежит на $BC$, поэтому $\angle CKM$ и $\angle BKM$ смежные: $\angle CKM = 180^\circ - \angle BKM = 180^\circ - (180^\circ - 2y) = 2y$.
Шаг 8: В $\triangle CMK$: $\angle MCK = 60^\circ$, $\angle MKC = 2y$, тогда $\angle KMC = 180^\circ - 60^\circ - 2y = 120^\circ - 2y$.
Шаг 9: Так как $E$ на $AB$, $K$ на $BC$, то $\angle EBK = \angle ABC = 60^\circ$, значит $x + y = 60^\circ \Rightarrow y = 60^\circ - x$.
Шаг 10: Подставим $y$ в углы $\triangle CMK$:
$\angle MKC = 2(60^\circ - x) = 120^\circ - 2x$,
$\angle KMC = 120^\circ - 2(60^\circ - x) = 2x$.
Шаг 11: Сравниваем углы:
$\angle EAM = \angle MCK = 60^\circ$,
$\angle AEM = 2x = \angle KMC$,
$\angle EMA = 120^\circ - 2x = \angle MKC$.
Следовательно, $\triangle AEM \sim \triangle CMK$ по двум углам.
Шаг 2: В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$: $\angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^\circ$.
Шаг 3: Обозначим $\angle EBM = x$. В равнобедренном $\triangle BEM$: $\angle EBM = \angle EMB = x$. Тогда $\angle BEM = 180^\circ - 2x$.
Шаг 4: Точка $E$ лежит на $AB$, поэтому $\angle AEM$ и $\angle BEM$ — смежные: $\angle AEM = 180^\circ - \angle BEM = 180^\circ - (180^\circ - 2x) = 2x$.
Шаг 5: В $\triangle AEM$: $\angle EAM = 60^\circ$, $\angle AEM = 2x$, тогда $\angle EMA = 180^\circ - 60^\circ - 2x = 120^\circ - 2x$.
Шаг 6: Обозначим $\angle KBM = y$. В равнобедренном $\triangle BKM$: $\angle KBM = \angle KMB = y$, тогда $\angle BKM = 180^\circ - 2y$.
Шаг 7: Точка $K$ лежит на $BC$, поэтому $\angle CKM$ и $\angle BKM$ смежные: $\angle CKM = 180^\circ - \angle BKM = 180^\circ - (180^\circ - 2y) = 2y$.
Шаг 8: В $\triangle CMK$: $\angle MCK = 60^\circ$, $\angle MKC = 2y$, тогда $\angle KMC = 180^\circ - 60^\circ - 2y = 120^\circ - 2y$.
Шаг 9: Так как $E$ на $AB$, $K$ на $BC$, то $\angle EBK = \angle ABC = 60^\circ$, значит $x + y = 60^\circ \Rightarrow y = 60^\circ - x$.
Шаг 10: Подставим $y$ в углы $\triangle CMK$:
$\angle MKC = 2(60^\circ - x) = 120^\circ - 2x$,
$\angle KMC = 120^\circ - 2(60^\circ - x) = 2x$.
Шаг 11: Сравниваем углы:
$\angle EAM = \angle MCK = 60^\circ$,
$\angle AEM = 2x = \angle KMC$,
$\angle EMA = 120^\circ - 2x = \angle MKC$.
Следовательно, $\triangle AEM \sim \triangle CMK$ по двум углам.
Результат:
Подобие доказано.
б) Найти $AM : MC$, если $S_{AEM} = 4$, $S_{CMK} = 9$
Шаг 1: Из подобия $\triangle AEM \sim \triangle CMK$ отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия $k$:
$\frac{S_{AEM}}{S_{CMK}} = k^2 = \frac{4}{9} \Rightarrow k = \frac{2}{3}$.
Шаг 2: Из подобия: $\frac{AM}{CK} = k = \frac{2}{3}$ и $\frac{AE}{CM} = \frac{2}{3}$.
Шаг 3: Пусть $AM = t$, $MC = s$, сторона треугольника $AC = AB = BC = a = t + s$.
Шаг 4: Из $\frac{AE}{CM} = \frac{2}{3}$ получаем $AE = \frac{2}{3}s$. Тогда $EB = AB - AE = a - \frac{2}{3}s$.
Шаг 5: Так как $EB = EM$, то $EM = a - \frac{2}{3}s$.
Шаг 6: Из подобия $\frac{EM}{MK} = \frac{2}{3}$, значит $MK = \frac{3}{2} EM = \frac{3}{2}\left(a - \frac{2}{3}s\right) = \frac{3}{2}a - s$.
Шаг 7: Так как $KB = KM$, то $BK = \frac{3}{2}a - s$. Тогда $CK = BC - BK = a - \left(\frac{3}{2}a - s\right) = s - \frac{1}{2}a$.
Шаг 8: Используем $\frac{AM}{CK} = \frac{2}{3}$: $\frac{t}{s - \frac{1}{2}a} = \frac{2}{3}$. Подставляем $a = t + s$:
$\frac{t}{s - \frac{1}{2}(t+s)} = \frac{2}{3}$.
Упрощаем знаменатель: $s - \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}s = \frac{s-t}{2}$.
Получаем $\frac{t}{(s-t)/2} = \frac{2t}{s-t} = \frac{2}{3}$.
Шаг 9: Решаем: $\frac{2t}{s-t} = \frac{2}{3} \Rightarrow 6t = 2(s-t) \Rightarrow 6t = 2s - 2t \Rightarrow 8t = 2s \Rightarrow s = 4t$.
Шаг 10: Тогда $AM : MC = t : s = t : 4t = 1 : 4$.
$\frac{S_{AEM}}{S_{CMK}} = k^2 = \frac{4}{9} \Rightarrow k = \frac{2}{3}$.
Шаг 2: Из подобия: $\frac{AM}{CK} = k = \frac{2}{3}$ и $\frac{AE}{CM} = \frac{2}{3}$.
Шаг 3: Пусть $AM = t$, $MC = s$, сторона треугольника $AC = AB = BC = a = t + s$.
Шаг 4: Из $\frac{AE}{CM} = \frac{2}{3}$ получаем $AE = \frac{2}{3}s$. Тогда $EB = AB - AE = a - \frac{2}{3}s$.
Шаг 5: Так как $EB = EM$, то $EM = a - \frac{2}{3}s$.
Шаг 6: Из подобия $\frac{EM}{MK} = \frac{2}{3}$, значит $MK = \frac{3}{2} EM = \frac{3}{2}\left(a - \frac{2}{3}s\right) = \frac{3}{2}a - s$.
Шаг 7: Так как $KB = KM$, то $BK = \frac{3}{2}a - s$. Тогда $CK = BC - BK = a - \left(\frac{3}{2}a - s\right) = s - \frac{1}{2}a$.
Шаг 8: Используем $\frac{AM}{CK} = \frac{2}{3}$: $\frac{t}{s - \frac{1}{2}a} = \frac{2}{3}$. Подставляем $a = t + s$:
$\frac{t}{s - \frac{1}{2}(t+s)} = \frac{2}{3}$.
Упрощаем знаменатель: $s - \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}s = \frac{s-t}{2}$.
Получаем $\frac{t}{(s-t)/2} = \frac{2t}{s-t} = \frac{2}{3}$.
Шаг 9: Решаем: $\frac{2t}{s-t} = \frac{2}{3} \Rightarrow 6t = 2(s-t) \Rightarrow 6t = 2s - 2t \Rightarrow 8t = 2s \Rightarrow s = 4t$.
Шаг 10: Тогда $AM : MC = t : s = t : 4t = 1 : 4$.
Окончательный ответ:
$1 : 4$