Шаг 1
Перепишем систему и ограничение.
Дано:
1) $2a \le x$
2) $6x > x^2 + a^2$
3) $x + a \le 6$
4) $x \in [4, 5]$
Дано:
1) $2a \le x$
2) $6x > x^2 + a^2$
3) $x + a \le 6$
4) $x \in [4, 5]$
Результат:
система содержит три неравенства и ограничение на $x$.
Шаг 2
Преобразуем второе неравенство.
$6x > x^2 + a^2 \Rightarrow x^2 - 6x + a^2 < 0$.
Выделим полный квадрат: $(x - 3)^2 - 9 + a^2 < 0 \Rightarrow (x - 3)^2 + a^2 < 9$.
$6x > x^2 + a^2 \Rightarrow x^2 - 6x + a^2 < 0$.
Выделим полный квадрат: $(x - 3)^2 - 9 + a^2 < 0 \Rightarrow (x - 3)^2 + a^2 < 9$.
Результат:
второе неравенство равносильно $(x - 3)^2 + a^2 < 9$ — это внутренность круга радиуса $3$ с центром в точке $(3, 0)$.
Шаг 3
Условие $x \in [4, 5]$.
На отрезке $[4, 5]$ выражение $(x-3)^2$ возрастает, поэтому наиболее сильное ограничение на $a$ возникает при $x = 5$:
$(5-3)^2 + a^2 < 9 \Rightarrow 4 + a^2 < 9 \Rightarrow a^2 < 5 \Rightarrow |a| < \sqrt{5}$.
На отрезке $[4, 5]$ выражение $(x-3)^2$ возрастает, поэтому наиболее сильное ограничение на $a$ возникает при $x = 5$:
$(5-3)^2 + a^2 < 9 \Rightarrow 4 + a^2 < 9 \Rightarrow a^2 < 5 \Rightarrow |a| < \sqrt{5}$.
Результат:
необходимое условие $a \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5})$.
Шаг 4
Рассмотрим первое неравенство $2a \le x$.
Для существования $x \in [4, 5]$, удовлетворяющего этому неравенству, достаточно $2a \le 5 \Rightarrow a \le 2.5$.
Для существования $x \in [4, 5]$, удовлетворяющего этому неравенству, достаточно $2a \le 5 \Rightarrow a \le 2.5$.
Результат:
условие $a \le 2.5$.
Шаг 5
Рассмотрим третье неравенство $x + a \le 6$.
Наименьшее значение $6 - x$ на $[4, 5]$ равно $1$ (при $x = 5$). Поэтому для существования подходящего $x$ необходимо $a \le 1$.
Наименьшее значение $6 - x$ на $[4, 5]$ равно $1$ (при $x = 5$). Поэтому для существования подходящего $x$ необходимо $a \le 1$.
Результат:
условие $a \le 1$.
Шаг 6
Объединим условия.
Из шагов 3, 4, 5 получаем: $a \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5})$, $a \le 2.5$, $a \le 1$.
Наиболее сильные ограничения: $a \le 1$ и $a > -\sqrt{5}$.
Из шагов 3, 4, 5 получаем: $a \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5})$, $a \le 2.5$, $a \le 1$.
Наиболее сильные ограничения: $a \le 1$ и $a > -\sqrt{5}$.
Результат:
$a \in (-\sqrt{5}, 1]$.
Шаг 7
Проверим достаточность.
Для любого $a \in (-\sqrt{5}, 1]$ возьмём $x = 4$.
Проверяем:
1) $2a \le 4$ — верно, так как $a \le 1$.
2) $(4-3)^2 + a^2 = 1 + a^2 < 9$ — верно, так как $a^2 < 5$.
3) $4 + a \le 6 \Rightarrow a \le 2$ — верно, так как $a \le 1$.
Таким образом, $x = 4$ является решением.
Для любого $a \in (-\sqrt{5}, 1]$ возьмём $x = 4$.
Проверяем:
1) $2a \le 4$ — верно, так как $a \le 1$.
2) $(4-3)^2 + a^2 = 1 + a^2 < 9$ — верно, так как $a^2 < 5$.
3) $4 + a \le 6 \Rightarrow a \le 2$ — верно, так как $a \le 1$.
Таким образом, $x = 4$ является решением.
Результат:
условие достаточности выполнено.
Окончательный ответ:
$(-\sqrt{5}, 1]$