Шаг 1
Найдём область допустимых значений (ОДЗ).
Логарифмы определены при:
$2 - x > 0 \Rightarrow x < 2$,
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$,
$x^2 > 0$ и $x^4 > 0 \Rightarrow x \neq 0$.
Знаменатель не равен нулю: $\log_2 x^2 + \log_2 x^4 + 1 \neq 0$.
Логарифмы определены при:
$2 - x > 0 \Rightarrow x < 2$,
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$,
$x^2 > 0$ и $x^4 > 0 \Rightarrow x \neq 0$.
Знаменатель не равен нулю: $\log_2 x^2 + \log_2 x^4 + 1 \neq 0$.
Результат:
ОДЗ: $x \in (-1, 0) \cup (0, 2)$.
Шаг 2
Упростим неравенство.
Числитель: $\log_2 (2 - x) - \log_2 (x + 1) = \log_2 \frac{2 - x}{x + 1}$.
Знаменатель: $\log_2 x^2 + \log_2 x^4 + 1 = \log_2 (x^2 \cdot x^4) + 1 = \log_2 x^6 + 1 = 6\log_2 |x| + 1$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{\log_2 \frac{2 - x}{x + 1}}{6\log_2 |x| + 1} \geq 0$.
Числитель: $\log_2 (2 - x) - \log_2 (x + 1) = \log_2 \frac{2 - x}{x + 1}$.
Знаменатель: $\log_2 x^2 + \log_2 x^4 + 1 = \log_2 (x^2 \cdot x^4) + 1 = \log_2 x^6 + 1 = 6\log_2 |x| + 1$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{\log_2 \frac{2 - x}{x + 1}}{6\log_2 |x| + 1} \geq 0$.
Шаг 3
Найдём критические точки.
Нули числителя: $\log_2 \frac{2 - x}{x + 1} = 0 \Rightarrow \frac{2 - x}{x + 1} = 1 \Rightarrow 2 - x = x + 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
Нули знаменателя: $6\log_2 |x| + 1 = 0 \Rightarrow \log_2 |x| = -\frac{1}{6} \Rightarrow |x| = 2^{-1/6}$, то есть $x = \pm 2^{-1/6}$ (исключаются из ОДЗ).
Точки разбиения ОДЗ: $x = -2^{-1/6}$, $x = 0$, $x = 2^{-1/6} \approx 0.89$, $x = \frac{1}{2}$, $x = 2$ (граница).
Нули числителя: $\log_2 \frac{2 - x}{x + 1} = 0 \Rightarrow \frac{2 - x}{x + 1} = 1 \Rightarrow 2 - x = x + 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
Нули знаменателя: $6\log_2 |x| + 1 = 0 \Rightarrow \log_2 |x| = -\frac{1}{6} \Rightarrow |x| = 2^{-1/6}$, то есть $x = \pm 2^{-1/6}$ (исключаются из ОДЗ).
Точки разбиения ОДЗ: $x = -2^{-1/6}$, $x = 0$, $x = 2^{-1/6} \approx 0.89$, $x = \frac{1}{2}$, $x = 2$ (граница).
Шаг 4
Определим знаки на интервалах.
Рассмотрим только положительную часть ОДЗ $(0, 2)$, так как на $(-1, 0)$ знак дроби отрицателен (проверка показывает $f(x) < 0$).
Интервалы на $(0, 2)$:
1) $(0, \frac{1}{2})$: например, $x = 0.2$.
Числитель: $\frac{2-0.2}{0.2+1} = 1.5 > 1 \Rightarrow \log_2 1.5 > 0$.
Знаменатель: $6\log_2 0.2 + 1 \approx -12.93 < 0$.
Дробь: $+/- = -$ ($f(x) < 0$).
2) $(\frac{1}{2}, 2^{-1/6})$: например, $x = 0.7$.
Числитель: $\frac{2-0.7}{0.7+1} \approx 0.765 < 1 \Rightarrow \log_2 0.765 < 0$.
Знаменатель: $6\log_2 0.7 + 1 \approx -2.09 < 0$.
Дробь: $-/- = +$ ($f(x) > 0$).
3) $(2^{-1/6}, 2)$: например, $x = 1$.
Числитель: $\frac{2-1}{1+1} = 0.5 \Rightarrow \log_2 0.5 = -1 < 0$.
Знаменатель: $6\log_2 1 + 1 = 1 > 0$.
Дробь: $-/+ = -$ ($f(x) < 0$).
Рассмотрим только положительную часть ОДЗ $(0, 2)$, так как на $(-1, 0)$ знак дроби отрицателен (проверка показывает $f(x) < 0$).
Интервалы на $(0, 2)$:
1) $(0, \frac{1}{2})$: например, $x = 0.2$.
Числитель: $\frac{2-0.2}{0.2+1} = 1.5 > 1 \Rightarrow \log_2 1.5 > 0$.
Знаменатель: $6\log_2 0.2 + 1 \approx -12.93 < 0$.
Дробь: $+/- = -$ ($f(x) < 0$).
2) $(\frac{1}{2}, 2^{-1/6})$: например, $x = 0.7$.
Числитель: $\frac{2-0.7}{0.7+1} \approx 0.765 < 1 \Rightarrow \log_2 0.765 < 0$.
Знаменатель: $6\log_2 0.7 + 1 \approx -2.09 < 0$.
Дробь: $-/- = +$ ($f(x) > 0$).
3) $(2^{-1/6}, 2)$: например, $x = 1$.
Числитель: $\frac{2-1}{1+1} = 0.5 \Rightarrow \log_2 0.5 = -1 < 0$.
Знаменатель: $6\log_2 1 + 1 = 1 > 0$.
Дробь: $-/+ = -$ ($f(x) < 0$).
Шаг 5
Учтём условия неравенства.
Неравенство нестрогое, поэтому $x = \frac{1}{2}$ входит (знаменатель при этом $-5 \neq 0$).
Точки $x = \pm 2^{-1/6}$ исключены (знаменатель обращается в ноль).
Границы $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$ не входят в ОДЗ.
Неравенство нестрогое, поэтому $x = \frac{1}{2}$ входит (знаменатель при этом $-5 \neq 0$).
Точки $x = \pm 2^{-1/6}$ исключены (знаменатель обращается в ноль).
Границы $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$ не входят в ОДЗ.
Шаг 6
Объединяем интервалы, где $f(x) \geq 0$.
На положительной части ОДЗ это $[\frac{1}{2}, 2^{-1/6})$.
На отрицательной части $f(x) < 0$.
На положительной части ОДЗ это $[\frac{1}{2}, 2^{-1/6})$.
На отрицательной части $f(x) < 0$.
Результат:
$x \in [\frac{1}{2}, 2^{-1/6})$.
Окончательный ответ:
$\left[\frac{1}{2}, 2^{-1/6}\right)$