Шаг 1
Преобразуем уравнение, используя $27^x = 3^{3x}$ и обозначим $t = 3^x > 0$.
Результат:
Уравнение принимает вид $t^3 - 4 \cdot 3^{x+2} + 3^{5-x} = 0$.
Шаг 2
Выразим степени через $t$: $3^{x+2} = 9t$, $3^{5-x} = \frac{243}{t}$.
Результат:
Получаем $t^3 - 36t + \frac{243}{t} = 0$.
Шаг 3
Умножаем на $t$: $t^4 - 36t^2 + 243 = 0$. Замена $y = t^2 > 0$ даёт $y^2 - 36y + 243 = 0$.
Результат:
Корни: $y = 27$ и $y = 9$.
Шаг 4
Возвращаемся к $t$: $t = \sqrt{y}$. Тогда $t = 3\sqrt{3} = 3^{3/2}$ или $t = 3$.
Результат:
Для $3^x = t$ находим $x = \frac{3}{2}$ и $x = 1$.
Шаг 5
Определим, какие корни принадлежат отрезку $\left[ \log_7 4; \log_7 16 \right]$.
Результат:
$\log_7 4 \approx 0.71$, $\log_7 16 \approx 1.42$. В отрезок попадает только $x = 1$.
Окончательный ответ:
1